Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se o limite abaixo existe ou não quando
se aproxima de
. Se existir, precisamos encontrar o valor desse limite.
Neste exercício, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis, além de propriedades das funções trigonométricas como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão para entender o comportamento quando
se aproxima de
.
-
Constante 10: Essa parte é simples, sempre vale 10, independente dos valores de
e . -
Termo
: Aqui, quando se aproxima de 2, se aproxima de . Portanto, esse termo está indo para 0. -
Termo
: Quando se aproxima de 6, o denominador se aproxima de 0, o que faz com que tenda para mais ou menos infinito. O cosseno de um número que tende ao infinito oscila entre -1 e 1 sem parar.
Passo 3
Agora, vamos juntar as peças. A expressão completa é:
Sabemos que
está tendendo para 0 e que
está oscilando entre -1 e 1.
Quando multiplicamos algo que tende a 0 por algo que está entre -1 e 1, o resultado também tende a 0. Isso porque o valor que está oscilando não cresce, apenas oscila, e está sendo “amortecido” pelo termo que está indo para 0.
Passo 4
Portanto, o termo
vai para 0 quando
.
Assim, a expressão completa simplifica para:
Resposta
O limite existe e o seu valor é
.