Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
lim (x, y) (6,2) 10+y^3-82 x cdot cos (15x-6)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que determinar se o limite abaixo existe ou não quando (x, y) se aproxima de (6,2). Se existir, precisamos encontrar o valor desse limite.
lim (x, y) (6,2) 10+y^3-82 x cdot cos (15x-6)
Neste exercício, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis, além de propriedades das funções trigonométricas como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão para entender o comportamento quando (x, y) se aproxima de (6,2).
  1. Constante 10: Essa parte é simples, sempre vale 10, independente dos valores de x e y.
  2. Termo y^3-82 x: Aqui, quando y se aproxima de 2, y^3 - 8 se aproxima de 2^3 - 8 = 0. Portanto, esse termo está indo para 0.
  3. Termo cos (15x-6): Quando x se aproxima de 6, o denominador x - 6 se aproxima de 0, o que faz com que 15x-6 tenda para mais ou menos infinito. O cosseno de um número que tende ao infinito oscila entre -1 e 1 sem parar.

Passo 3

Agora, vamos juntar as peças. A expressão completa é:
10 + y^3-82 x cdot cos (15x-6)
Sabemos que y^3-82 x está tendendo para 0 e que cos (15x-6) está oscilando entre -1 e 1.
Quando multiplicamos algo que tende a 0 por algo que está entre -1 e 1, o resultado também tende a 0. Isso porque o valor que está oscilando não cresce, apenas oscila, e está sendo “amortecido” pelo termo que está indo para 0.

Passo 4

Portanto, o termo y^3-82 x cdot cos (15x-6) vai para 0 quando (x, y) (6,2).
Assim, a expressão completa simplifica para:
10 + 0 = 10

Resposta

O limite existe e o seu valor é 10.

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