Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre limites de funções de duas variáveis. A gente precisa descobrir se o limite da função
quando
se aproxima de
existe ou não. Se existir, a gente também vai calcular esse valor. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como calcular limites em múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se
é contínua quando
se aproxima de
.
Passo 3
Vamos analisar as partes da função
. A parte
é um polinômio, e os polinômios são contínuos em todos os lugares. Já
é uma função exponencial, e funções exponenciais também são contínuas para todo valor de
.
Passo 4
Como tanto
quanto
são funções contínuas, a combinação delas, que é
, também é contínua no ponto
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor da função em
:
Calculando cada parte:
Subtraindo:
Resposta
O limite existe e é igual a
.