Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
lim (x, y) (3,9) x^4-5^y-6

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre limites de funções de duas variáveis. A gente precisa descobrir se o limite da função f(x, y) = x^4 - 5^y-6 quando (x, y) se aproxima de (3, 9) existe ou não. Se existir, a gente também vai calcular esse valor. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade de funções e como calcular limites em múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite dela nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. No nosso caso, queremos ver se f(x, y) é contínua quando (x, y) se aproxima de (3, 9) .

Passo 3

Vamos analisar as partes da função f(x, y) = x^4 - 5^y-6 . A parte x^4 é um polinômio, e os polinômios são contínuos em todos os lugares. Já 5^y-6 é uma função exponencial, e funções exponenciais também são contínuas para todo valor de y .

Passo 4

Como tanto x^4 quanto 5^y-6 são funções contínuas, a combinação delas, que é x^4 - 5^y-6 , também é contínua no ponto (3, 9) . Isso significa que o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (3, 9) existe e é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos calcular o valor da função em (3, 9) :
f(3, 9) = 3^4 - 5^9-6
Calculando cada parte:
3^4 = 81
5^3 = 125
Subtraindo:
81 - 125 = -44

Resposta

O limite existe e é igual a -44.

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