Forneça, algebricamente, o domínio natural das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar, de forma algébrica, o domínio natural da função
. O domínio natural de uma função é o conjunto de todos os valores dos seus parâmetros (nesse caso,
,
e
) para os quais a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as condições que garantem que a expressão dentro da raiz quarta seja válida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio natural. Em funções que envolvem raízes de índice par (como a raiz quadrada, quarta, etc.), a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa. Isso porque não dá para tirar a raiz de um número negativo e ficar com um número real.
Passo 3
Agora, olhando para a nossa função
, a expressão dentro da raiz é
. Para que essa raiz quarta seja real e válida, precisamos que:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
,
e
que satisfazem essa condição:
Subtraindo 9 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que ao multiplicar por um número negativo, a desigualdade inverte o sinal):
Passo 5
A desigualdade
representa todos os pontos
que estão dentro ou na superfície de uma esfera de raio 3 (já que
) no espaço tridimensional.
Resposta
O domínio natural da função
é o conjunto de todos os números reais
,
e
que satisfazem a desigualdade:
Isso significa que todos os pontos dentro ou na superfície de uma esfera de raio 3 são válidos para essa função.