Forneça, algebricamente, o domínio natural das funções abaixo.
h(x, y, z)=raiz[4]9-x^2-y^2-z^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente precisa encontrar, de forma algébrica, o domínio natural da função h(x, y, z) = raiz[4]9 - x^2 - y^2 - z^2 . O domínio natural de uma função é o conjunto de todos os valores dos seus parâmetros (nesse caso, x , y e z ) para os quais a função está bem definida. Para resolver isso, vamos precisar entender as condições que garantem que a expressão dentro da raiz quarta seja válida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o domínio natural. Em funções que envolvem raízes de índice par (como a raiz quadrada, quarta, etc.), a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa. Isso porque não dá para tirar a raiz de um número negativo e ficar com um número real.

Passo 3

Agora, olhando para a nossa função h(x, y, z) = raiz[4]9 - x^2 - y^2 - z^2 , a expressão dentro da raiz é 9 - x^2 - y^2 - z^2 . Para que essa raiz quarta seja real e válida, precisamos que:
9 - x^2 - y^2 - z^2 >= 0

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x , y e z que satisfazem essa condição:
9 - x^2 - y^2 - z^2 >= 0
Subtraindo 9 de ambos os lados:
- x^2 - y^2 - z^2 >= -9
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que ao multiplicar por um número negativo, a desigualdade inverte o sinal):
x^2 + y^2 + z^2 <= 9

Passo 5

A desigualdade x^2 + y^2 + z^2 <= 9 representa todos os pontos (x, y, z) que estão dentro ou na superfície de uma esfera de raio 3 (já que raiz9 = 3 ) no espaço tridimensional.

Resposta

O domínio natural da função h(x, y, z) = raiz[4]9 - x^2 - y^2 - z^2 é o conjunto de todos os números reais x , y e z que satisfazem a desigualdade:
x^2 + y^2 + z^2 <= 9
Isso significa que todos os pontos dentro ou na superfície de uma esfera de raio 3 são válidos para essa função.

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