Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
lim (x, y) (-6,2) 4 x^2+24 x y+36 y^28 x+24 y

Passo 1

Então, a gente tem que analisar o limite de uma função de duas variáveis, onde (x, y) se aproxima de (-6, 2). A função é essa:
lim (x, y) (-6,2) 4 x^2+24 x y+36 y^28 x+24 y
A matéria aqui envolve limites multivariáveis e simplificação de expressões algébricas. Vamos precisar verificar se o limite existe e, se existir, encontrar o valor dele.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos (-6, 2) diretamente na função. O numerador fica:
4(-6)^2 + 24(-6)(2) + 36(2)^2 = 4(36) + 24(-12) + 36(4) = 144 - 288 + 144 = 0
E o denominador:
8(-6) + 24(2) = -48 + 48 = 0
Então, temos a forma 00, que é indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento do limite.

Passo 3

Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador. No numerador:
4x^2 + 24xy + 36y^2 = 4(x^2 + 6xy + 9y^2) = 4(x + 3y)^2
No denominador:
8x + 24y = 8(x + 3y)
Agora, substituímos essas fatorações na função original:
4(x + 3y)^28(x + 3y) = 4(x + 3y)8 = x + 3y2

Passo 4

Agora, a expressão está bem mais simples: x + 3y2. Vamos calcular o limite substituindo (-6, 2):
(-6) + 3(2)2 = -6 + 62 = 02 = 0

Resposta

O limite existe e o seu valor é 0.

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