Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
Passo 1
Então, a gente tem que analisar o limite de uma função de duas variáveis, onde
se aproxima de
. A função é essa:
A matéria aqui envolve limites multivariáveis e simplificação de expressões algébricas. Vamos precisar verificar se o limite existe e, se existir, encontrar o valor dele.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na função. O numerador fica:
E o denominador:
Então, temos a forma
, que é indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento do limite.
Passo 3
Vamos tentar fatorar o numerador e o denominador. No numerador:
No denominador:
Agora, substituímos essas fatorações na função original:
Passo 4
Agora, a expressão está bem mais simples:
. Vamos calcular o limite substituindo
:
Resposta
O limite existe e o seu valor é
.