Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
Passo 1
Vamos resolver o limite $
(x, y)
(0,0)$.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo
e
:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos analisar o limite de outra forma.
Passo 3
Uma técnica comum para investigar limites de funções de duas variáveis é verificar se o limite é o mesmo ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos. Se os limites forem diferentes para caminhos distintos, o limite geral não existe.
Passo 4
Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar
:
Caminho 1:
Substituindo na função:
Então, ao longo de
, o limite é 0.
Passo 5
Caminho 2:
, onde
é uma constante
Substituindo
na função:
Aqui, o limite depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Passo 6
Como os limites ao longo dos caminhos
e
são diferentes (por exemplo, 0 e
), concluímos que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os valores do limite são diferentes quando nos aproximamos do ponto
por caminhos distintos.