Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
lim (x, y) (0,0) raiz[3]y^2 x3 x+2 y

Passo 1

Vamos resolver o limite $ lim (x, y) (0,0) raiz[3]y^2 x3 x+2 y (x, y) íçõáçã(x, y) (0,0) (0,0)$.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo x = 0 e y = 0 :
raiz[3]0^2 cdot 03 cdot 0 + 2 cdot 0 = 00
Obtemos uma forma indeterminada 00 , o que significa que precisamos analisar o limite de outra forma.

Passo 3

Uma técnica comum para investigar limites de funções de duas variáveis é verificar se o limite é o mesmo ao se aproximar do ponto (0,0) por diferentes caminhos. Se os limites forem diferentes para caminhos distintos, o limite geral não existe.

Passo 4

Vamos escolher dois caminhos diferentes para aproximar (0,0) :
Caminho 1: y = 0
Substituindo na função:
raiz[3]0^2 cdot x3x + 2 cdot 0 = 03x = 0
Então, ao longo de y = 0 , o limite é 0.

Passo 5

Caminho 2: y = kx , onde k é uma constante
Substituindo y = kx na função:
raiz[3](k x)^2 cdot x3x + 2k x = raiz[3]k^2 x^3x(3 + 2k) = k^2/3 x(3 + 2k)x = k^2/33 + 2k
Aqui, o limite depende do valor de k . Por exemplo:
  • Se k = 1 , o limite é 15 .
  • Se k = 2 , o limite é 2^2/37 .

Passo 6

Como os limites ao longo dos caminhos y = 0 e y = kx são diferentes (por exemplo, 0 e 15 ), concluímos que o limite geral não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) raiz[3]y^2 x3 x+2 y não existe porque os valores do limite são diferentes quando nos aproximamos do ponto (0,0) por caminhos distintos.

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