Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
lim (x, y) (4,0) 9 xy^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o limite lim (x, y) (4,0) 9 xy^2 existe ou não. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e analisar o comportamento da função conforme x e y se aproximam de 4 e 0, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o limite está pedindo. Estamos vendo o que acontece com a expressão 9xy^2 quando x se aproxima de 4 e y se aproxima de 0. Isso significa que queremos ver se a expressão tem um valor único ou não quando chegamos perto desse ponto específico.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
  • Numerador: 9x. Quando x 4, 9x 36.
  • Denominador: y^2. Quando y 0, y^2 0.

Passo 4

Agora, observamos que o numerador está tendendo a 36, enquanto o denominador está tendendo a 0. Dividir um número finito por um número que se aproxima de 0 geralmente resulta em um valor que cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.

Passo 5

Para confirmar se o limite realmente não existe, podemos analisar diferentes caminhos de aproximação:
  • Caminho 1: Fixar x = 4 e deixar y se aproximar de 0. A expressão fica 36y^2, que tende ao infinito.
  • Caminho 2: Fixar y = k(x - 4) onde k é uma constante, e deixar x se aproximar de 4. Mesmo assim, o denominador y^2 tende a 0, fazendo a expressão tender ao infinito.

Passo 6

Como a expressão tende ao infinito independentemente do caminho escolhido para se aproximar de (4,0), podemos concluir que o limite não existe no sentido tradicional (ou seja, não é um número real finito).

Resposta

O limite não existe porque a expressão cresce sem limites conforme (x, y) se aproxima de (4,0).

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