Diga se os limites a seguir existem ou não, justificando caso não existam. Quando existirem, forneça seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se o limite
existe ou não. Para isso, vamos usar conceitos de limites de funções de várias variáveis e analisar o comportamento da função conforme
e
se aproximam de 4 e 0, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o limite está pedindo. Estamos vendo o que acontece com a expressão
quando
se aproxima de 4 e
se aproxima de 0. Isso significa que queremos ver se a expressão tem um valor único ou não quando chegamos perto desse ponto específico.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente:
- Numerador:
. Quando , . - Denominador:
. Quando , .
Passo 4
Agora, observamos que o numerador está tendendo a 36, enquanto o denominador está tendendo a 0. Dividir um número finito por um número que se aproxima de 0 geralmente resulta em um valor que cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito.
Passo 5
Para confirmar se o limite realmente não existe, podemos analisar diferentes caminhos de aproximação:
- Caminho 1: Fixar
e deixar se aproximar de 0. A expressão fica , que tende ao infinito. - Caminho 2: Fixar
onde é uma constante, e deixar se aproximar de 4. Mesmo assim, o denominador tende a 0, fazendo a expressão tender ao infinito.
Passo 6
Como a expressão tende ao infinito independentemente do caminho escolhido para se aproximar de
, podemos concluir que o limite não existe no sentido tradicional (ou seja, não é um número real finito).
Resposta
O limite não existe porque a expressão cresce sem limites conforme
se aproxima de
.