De todas as funções a seguir, obtenha todas as derivadas parciais de primeira ordem. Aplique elas no ponto indicado, e diga se neste ponto ela está crescendo, ou decrescendo, ou com crescimento estacionado.
E dentre as funções abaixo, apenas das funções de duas variáveis obtenha todas as suas derivadas de segunda ordem, sem precisar aplicá-las no ponto.
a) f(x, y)=3^4 yx^3+80, no ponto (-1, 14).
b) f(x, y)=sen(x y)-4 cos (2 x)+x^2 y4, no ponto (pi, 12).
c) f(x, y, z)=ln (x^2 y^4 z^6)z^5 x no ponto (1, -1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas, avaliar essas derivadas em pontos específicos para ver se a função está aumentando, diminuindo ou estacionada nesses pontos. Além disso, para as funções de duas variáveis, precisamos encontrar também as derivadas de segunda ordem. Vamos precisar de conceitos básicos de derivadas parciais e como aplicá-las.

Passo 2

Função a) f(x, y) = 3^4yx^3 + 80 , no ponto (-1, 14) .
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y .
Derivada parcial em relação a x :
fx = partialpartial x ( 3^4yx^3 ) = -3 cdot 3^4yx^4
Derivada parcial em relação a y :
fy = partialpartial y ( 3^4yx^3 ) = 3^4y cdot ln(3) cdot 4x^3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (-1, 14) .
fx(-1, 14) = -3 cdot 3^4 cdot 14(-1)^4 = -3 cdot 3^11 = -9
fy(-1, 14) = 3^1 cdot ln(3) cdot 4(-1)^3 = 3 cdot ln(3) cdot 4-1 = -12 ln(3)
Como fx = -9 , isso indica que a função está diminuindo em relação a x . Já fy = -12 ln(3) também é negativo, indicando que a função está diminuindo em relação a y .
Agora, vamos às derivadas de segunda ordem.
fxx = partialpartial x ( -3 cdot 3^4yx^4 ) = 12 cdot 3^4yx^5
fxy = partialpartial y ( -3 cdot 3^4yx^4 ) = -3 cdot 3^4y cdot ln(3) cdot 4x^4
fyy = partialpartial y ( 3^4y cdot ln(3) cdot 4x^3 ) = 3^4y cdot (ln(3))^2 cdot 16x^3

Passo 3

Função b) f(x, y) = sin(x y) - 4 cos(2x) + x^2 y4 , no ponto (pi, 12) .
Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y .
Derivada parcial em relação a x :
fx = cos(x y) cdot y + 8 sin(2x) + 2x y4 = y cos(x y) + 8 sin(2x) + x y2
Derivada parcial em relação a y :
fy = cos(x y) cdot x + x^24
Agora, avaliando essas derivadas no ponto (pi, 12) :
fx(pi, 12) = 12 cos(pi cdot 12) + 8 sin(2pi) + pi cdot 122 = 12 cdot 0 + 8 cdot 0 + pi4 = pi4
fy(pi, 12) = cos(pi cdot 12) cdot pi + pi^24 = 0 cdot pi + pi^24 = pi^24
Como fx = pi4 > 0 , a função está aumentando em relação a x . E fy = pi^24 > 0 , indicando que a função também está aumentando em relação a y .
Agora, vamos às derivadas de segunda ordem.
fxx = -y^2 sin(x y) + 16 cos(2x) + y2
fxy = -x y sin(x y) + cos(x y) + x2
fyy = -x^2 sin(x y)

Passo 4

Função c) f(x, y, z) = ln (x^2 y^4 z^6)z^5 x , no ponto (1, -1, 1) .
Vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x , y e z .
Primeiro, simplificando a função:
f(x, y, z) = ln(x^2 y^4 z^6)z^5 x = 2ln(x) + 4ln(y) + 6ln(z)z^5 x
Derivada parcial em relação a x :
Usando a regra do quociente:
fx = 2x cdot z^5 x - (2ln(x) + 4ln(y) + 6ln(z)) cdot z^5(z^5 x)^2 = 2 z^5 - (2ln(x) + 4ln(y) + 6ln(z)) z^5z^10 x^2 = 2 - 2ln(x) - 4ln(y) - 6ln(z)z^5 x^2
Derivada parcial em relação a y :
fy = 4y cdot z^5 x - (2ln(x) + 4ln(y) + 6ln(z)) cdot 0(z^5 x)^2 = 4 z^5z^10 x^2 y = 4z^5 x^2 y
Derivada parcial em relação a z :
fz = 6z cdot z^5 x - (2ln(x) + 4ln(y) + 6ln(z)) cdot 5 z^4 x(z^5 x)^2 = 6 z^5 x - 5 (2ln(x) + 4ln(y) + 6ln(z)) z^4 xz^10 x^2 = 6 z - 5 (2ln(x) + 4ln(y) + 6ln(z))z^6 x

Resposta

Finalizando, avaliando as derivadas no(s) ponto(s) indicado(s):
a) fx(-1, 14) = -9 (diminuindo) e fy(-1, 14) = -12 ln(3) (diminuindo). As derivadas de segunda ordem são:
fxx = 12 cdot 3^4yx^5, fxy = -12 ln(3) cdot 3^4yx^4, fyy = 16 (ln(3))^2 cdot 3^4yx^3
b) fx(pi, 12) = pi4 (aumentando) e fy(pi, 12) = pi^24 (aumentando). As derivadas de segunda ordem são:
fxx = -12 sin(pi2) + 16 cos(2pi) + 12 = -12 + 16 + 12 = 16
fxy = -pi cdot 12 sin(pi2) + cos(pi2) + pi2 = -pi2 + 0 + pi2 = 0
fyy = -pi^2 sin(pi2) = -pi^2
c) As derivadas parciais de segunda ordem para a função de três variáveis são:
fx = 2 - 2ln(x) - 4ln(y) - 6ln(z)z^5 x^2, fy = 4z^5 x^2 y, fz = 6 z - 5 (2ln(x) + 4ln(y) + 6ln(z))z^6 x

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