De todas as funções a seguir, obtenha todas as derivadas parciais de primeira ordem. Aplique elas no ponto indicado, e diga se neste ponto ela está crescendo, ou decrescendo, ou com crescimento estacionado.
E dentre as funções abaixo, apenas das funções de duas variáveis obtenha todas as suas derivadas de segunda ordem, sem precisar aplicá-las no ponto.
a)
, no ponto
.
b)
, no ponto
.
c)
no ponto (1,
.
E dentre as funções abaixo, apenas das funções de duas variáveis obtenha todas as suas derivadas de segunda ordem, sem precisar aplicá-las no ponto.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem das funções dadas, avaliar essas derivadas em pontos específicos para ver se a função está aumentando, diminuindo ou estacionada nesses pontos. Além disso, para as funções de duas variáveis, precisamos encontrar também as derivadas de segunda ordem. Vamos precisar de conceitos básicos de derivadas parciais e como aplicá-las.
Passo 2
Função a)
, no ponto
.
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
.
Como
, isso indica que a função está diminuindo em relação a
. Já
também é negativo, indicando que a função está diminuindo em relação a
.
Agora, vamos às derivadas de segunda ordem.
Passo 3
Função b)
, no ponto
.
Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Agora, avaliando essas derivadas no ponto
:
Como
, a função está aumentando em relação a
. E
, indicando que a função também está aumentando em relação a
.
Agora, vamos às derivadas de segunda ordem.
Passo 4
Função c)
, no ponto
.
Vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
,
e
.
Primeiro, simplificando a função:
Derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Usando a regra do quociente:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Resposta
Finalizando, avaliando as derivadas no(s) ponto(s) indicado(s):
a)
(diminuindo) e
(diminuindo). As derivadas de segunda ordem são:
b)
(aumentando) e
(aumentando). As derivadas de segunda ordem são:
c) As derivadas parciais de segunda ordem para a função de três variáveis são: