Diga se as matrizes abaixo tem inversa. Se tiver, encontre-a.
[lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0]

Passo 1

Temos a matriz
A = 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0
e queremos saber se ela é invertível (ou seja, se det(A)neq0) e, em caso positivo, encontrar A^-1. Para isso precisamos calcular o determinante, a matriz de cofatores (comatriz), depois a adjunta (transposta da comatriz) e por fim multiplicar pela constante 1/det(A).

Passo 2

Calculamos o determinante de A por expansão pela primeira linha:
det(A) =1cdot1 & 11 & 0 -0cdot0 & 11 & 0 +1cdot(-1)^1+30 & 11 & 1
det(A) =1,(1cdot0-1cdot1) +1,(0cdot1-1cdot1) =-1 +(-1) =-2
Como det(A)=-2neq0, a matriz é invertível.

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofatores C = (Cij) onde
Cij = (-1)^i+jdet(Mij),
e Mij é a menor obtida ao eliminar linha i e coluna j. O resultado é
C = -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1

Passo 4

A matriz adjunta é a transposta de C, mas nesse caso C já é simétrica, então
adj(A) = C^T = -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1

Passo 5

Finalmente, usamos
A^-1 = 1det(A),adj(A) = -tfrac12, -1 & 1 & -1 1 & -1 & -1 -1 & -1 & 1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12

Resposta

A matriz é inversível e
A^-1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 -tfrac12 & tfrac12 & tfrac12 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12

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