Suponha que todas as matrizes desse exercício sejam matrizes inversiveis de mesma ordem. Em cada caso resolva a equação para X, simplificando ao máximo possível.
A(B+X)=(B^-1)^-1

Passo 1

O enunciado dá a equação matricial
Al(B + Xr) = l(B^-1r)^-1
onde A e B são invertíveis e pede para isolar X. Para isso vamos usar duas coisas:
  1. A propriedade l(B^-1r)^-1 = B.
  2. O fato de que, se A é invertível, podemos multiplicar à esquerda por A^-1 para “desfazer” A.

Passo 2

Aplicando a propriedade da inversa do inverso, reescrevemos o lado direito como
l(B^-1r)^-1 = B

Passo 3

Substituindo isso na equação original temos
Al(B + Xr) = B
Agora multiplicamos à esquerda por A^-1$:
A^-1,Al(B + Xr) = A^-1B Longrightarrow B + X = A^-1B

Passo 4

Isolando X basta subtrair B de ambos os lados:
X = A^-1B - B
Para simplificar, podemos fatorar B:
X = l(A^-1 - Ir),B,
onde I é a matriz identidade da mesma ordem.

Resposta

X = A^-1B - B ou X = (A^-1 - I),B

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