Responda se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
a) Se A não é uma matriz quadrada não existe A^-1.
b) Se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, então A+B é inversível.
c) Se A e B são matrizes singulares de mesma ordem, então A+B é singular.
d) Se A, B e A+B são matrizes inversíveis de mesma ordem, então
(A^-1+B^-1)^-1=A(A+B)^-1 B=B(A+B)^-1 A

Passo 1

O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre invertibilidade de matrizes é verdadeira ou falsa e justificar. O conteúdo envolvido é a definição de matriz invertível (dupla inversa exige produto em ambas as ordens igual à identidade, o que só faz sentido para matrizes quadradas), exemplos de contra-exemplo para soma de matrizes e a fórmula para a soma de inversas

Passo 2

Afirmação (a): “Se A não é uma matriz quadrada não existe A^-1.”
Uma matriz A tem inversa de dois lados se existe B tal que
AB = BA = I
Mas se A é mtimes n e B é ntimes m, então AB=Im e BA=In só podem ocorrer simultaneamente quando m=n. Logo, só matrizes quadradas podem ter inversa de dois lados.

Passo 3

Afirmação (b): “Se A e B são matrizes inversíveis de mesma ordem, então A+B é inversível.”
Isso seria verdade se soma preservasse sempre a invertibilidade, mas não é o caso. Basta o contra-exemplo em ordem 2:
A = I2, B = -I2
Aqui A e B são invertíveis, mas
A + B = I2 - I2 = 0
que é singular. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 4

Afirmação (c): “Se A e B são matrizes singulares de mesma ordem, então A+B é singular.”
Também falha em geral. Um contra-exemplo em ordem 2 é
A = 1&00&0, B = 0&00&1
Cada uma tem determinante zero, mas
A + B = 1&00&1 = I2,
que é invertível. Logo a afirmação é falsa.

Passo 5

Afirmação (d): “Se A, B e A+B são matrizes inversíveis de mesma ordem, então
l(A^-1+B^-1r)^-1 = A(A+B)^-1B = B(A+B)^-1A
Primeiro observe
A^-1+B^-1 = A^-1(A+B)B^-1,
então
l(A^-1+B^-1r)^-1 = B,(A+B)^-1A
Mas também trocando o papel de A e B no mesmo raciocínio vemos que
l(A^-1+B^-1r)^-1 = A,(A+B)^-1B
Como a inversa é única, concluímos as duas igualdades simultaneamente. Logo a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira

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