Responda se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
a) Se
não é uma matriz quadrada não existe
.
b) Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem, então
é inversível.
c) Se
e
são matrizes singulares de mesma ordem, então
é singular.
d) Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem, então
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
Passo 1
O enunciado pede para decidir se cada afirmação sobre invertibilidade de matrizes é verdadeira ou falsa e justificar. O conteúdo envolvido é a definição de matriz invertível (dupla inversa exige produto em ambas as ordens igual à identidade, o que só faz sentido para matrizes quadradas), exemplos de contra-exemplo para soma de matrizes e a fórmula para a soma de inversas
Passo 2
Afirmação (a): “Se
não é uma matriz quadrada não existe
.”
Uma matriz tem inversa de dois lados se existe
tal que
Uma matriz
Mas se
é
e
é
, então
e
só podem ocorrer simultaneamente quando
. Logo, só matrizes quadradas podem ter inversa de dois lados.
Passo 3
Afirmação (b): “Se
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem, então
é inversível.”
Isso seria verdade se soma preservasse sempre a invertibilidade, mas não é o caso. Basta o contra-exemplo em ordem :
Isso seria verdade se soma preservasse sempre a invertibilidade, mas não é o caso. Basta o contra-exemplo em ordem
Aqui
e
são invertíveis, mas
que é singular. Portanto a afirmação é falsa.
Passo 4
Afirmação (c): “Se
e
são matrizes singulares de mesma ordem, então
é singular.”
Também falha em geral. Um contra-exemplo em ordem é
Também falha em geral. Um contra-exemplo em ordem
Cada uma tem determinante zero, mas
que é invertível. Logo a afirmação é falsa.
Passo 5
Afirmação (d): “Se
,
e
são matrizes inversíveis de mesma ordem, então
Primeiro observe
então
Mas também trocando o papel de
e
no mesmo raciocínio vemos que
Como a inversa é única, concluímos as duas igualdades simultaneamente. Logo a afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(d) Verdadeira