Diga se as matrizes abaixo tem inversa. Se tiver, encontre-a.
[rrr1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 1 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 1 & 0 & 1 -1 & 1 & 1 0 & 1 & 0
é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^-1.
Conteúdo: determinante de matriz 3times 3, teste de inversibilidade ( det Aneq0), e método da adjunta (cofatores e transposta).

Passo 2

Calcular o determinante de A usando a regra de Laplace pela primeira linha:
det A = 1cdotdet1 & 11 & 0 -0cdotdet-1 & 10 & 0 +1cdotdet-1 & 10 & 1
Agora
det1 & 11 & 0=1cdot0 - 1cdot1 = -1, det-1 & 10 & 1 = -1cdot1 - 1cdot0 = -1
Logo
det A = 1cdot(-1) + 1cdot(-1) = -2

Passo 3

Como det A = -2 neq 0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Para usar o método da adjunta, calculamos os cofatores Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o minor correspondente. Os valores são:
C11=-1,; C12=0,; C13=-1,
C21=1,; C22=0,; C23=-1,
C31=-1,; C32=-2,; C33=1
Assim, a matriz de cofatores é
C = -1 & 0 & -1 1 & 0 & -1 -1 & -2 & 1

Passo 5

A adjunta de A é a transposta de C:
adj(A)=C^T = -1 & 1 & -1 0 & 0 & -2 -1 & -1 & 1
Finalmente,
A^-1 = 1det A,adj(A) = -tfrac12 -1 & 1 & -1 0 & 0 & -2 -1 & -1 & 1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 0 & 0 & 1 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12

Resposta

A^-1 = tfrac12 & -tfrac12 & tfrac12 0 & 0 & 1 tfrac12 & tfrac12 & -tfrac12

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