Enuncie condições sobre as constantes k1, k2, k3 e k4, sob as quais A=[cccc0 & 0 & 0 & k1 0 & 0 & k2 & 0 0 & k3 & 0 & 0 k4 & 0 & 0 & 0] é invertível e encontre A^-1.

Passo 1

O problema dá a matriz
A= 0 & 0 & 0 & k1 [6pt] 0 & 0 & k2 & 0 [6pt] 0 & k3 & 0 & 0 [6pt] k4 & 0 & 0 & 0
e pede (i) condições em k1,k2,k3,k4 para A ser invertível e (ii) achar A^-1.
Conteúdo: permutações em matrizes (matriz “anti– identidade” escalonada) e cálculo de determinante e inversa de matriz de permutação escalonada.]

Passo 2

Como A é um produto de uma matriz de permutação P (a “anti– identidade” que inverte a ordem dos vetores) pelos escalares k1,k2,k3,k4 em cada linha/coluna, tem-se
det(A)=det(P),k1k2k3k4
A permutação de reversão em quatro elementos pode ser escrita como (1,4)(2,3), produto de duas transposições disjuntas, logo det(P)=+1. Portanto
det(A)=k1k2k3k4

Passo 3

A condição de invertibilidade é det(A)neq0. Logo é preciso que
k1k2k3k4neq0 Long<=ftrightarrow k1neq0,;k2neq0,;k3neq0,;k4neq0

Passo 4

Para achar A^-1 observe o efeito de A nos vetores-base e1,e2,e3,e4:
A,e1=k4,e4, A,e2=k3,e3, A,e3=k2,e2, A,e4=k1,e1
Invertemos essas igualdades para escrever A^-1:
A^-1e4=1k4e1, A^-1e3=1k3e2, A^-1e2=1k2e3, A^-1e1=1k1e4
Isso significa que A^-1 tem a mesma estrutura anti– diagonal, trocando cada ki por 1/ki mas “espelhado".

Resposta

As condições de invertibilidade são
k1neq0, k2neq0, k3neq0, k4neq0
E a inversa é
A^-1 = 0 & 0 & 0 & dfrac1k4 [8pt] 0 & 0 & dfrac1k3 & 0 [8pt] 0 & dfrac1k2 & 0 & 0 [8pt] dfrac1k1 & 0 & 0 & 0 ]

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