Diga se as matrizes abaixo tem inversa. Se tiver, encontre-a.
[rrr3 & 4 & -1 1 & 0 & 3 2 & 5 & -4]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 3 & 4 & -1 1 & 0 & 3 2 & 5 & -4
é invertível e, se for, encontrar A^-1.
Conteúdo: determinante e matriz adjunta. Vamos usar o fato de que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, det(A)neq0, e nesse caso
A^-1 = 1det(A),adj(A)

Passo 2

Calculando o determinante de A por expansão de Laplace na primeira linha:
det(A) =3det0 & 35 & -4 -4det1 & 32 & -4 +(-1)det1 & 02 & 5
Agora cada menor:
det0 & 35 & -4 =0cdot(-4)-3cdot5=-15,
det1 & 32 & -4 =1cdot(-4)-3cdot2=-10,
det1 & 02 & 5 =1cdot5-0cdot2=5
Substituindo:
det(A)=3(-15)-4(-10)-1cdot5=-45+40-5=-10neq0
Logo A é invertível.

Passo 3

Vamos calcular a matriz de cofatores C, onde Cij=(-1)^i+jMij e Mij é o determinante do menor correspondente. Os cofatores são:
C = -15 & 10 & 5 11 & -10 & -7 12 & -10 & -4

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
adj(A) = C^T = -15 & 11 & 12 10 & -10 & -10 5 & -7 & -4
Então
A^-1 = 1det(A),adj(A) = -110 -15 & 11 & 12 10 & -10 & -10 5 & -7 & -4

Resposta

A^-1 = 32 & -1110 & -65 -1 & 1 & 1 -tfrac12 & tfrac710 & tfrac25

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