Diga se o operador abaixo é diagonalizável e calcule : tal que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente descobrir se o operador linear , definido por , é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre diagonalização de matrizes, autovalores e autovetores. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Isso facilita a análise. Sabemos que , então a matriz associada a será:
Passo 3
Agora, para verificar se A é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) da matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Resolvendo, temos v1 = -raiz2 v2 . Escolhendo v2 = 1 , o autovetor é v = -raiz2 1 .
Passo 5
Agora que encontramos dois autovalores distintos e dois autovetores correspondentes linearmente independentes, podemos concluir que a matriz A é diagonalizável.
Para diagonalizar, montamos a matriz P com os autovetores como colunas e a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:
P = raiz2 & -raiz2 1 & 1 , D = raiz2 & 0 0 & -raiz2
Resposta
O operador T é diagonalizável e a matriz diagonal D é: