Diga se o operador abaixo é diagonalizável e calcule D:
T: R^2 R^2 tal que T(x, y)=(2 y, x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente descobrir se o operador linear T: R^2 R^2 , definido por T(x, y) = (2y, x) , é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre diagonalização de matrizes, autovalores e autovetores. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T como uma matriz. Isso facilita a análise. Sabemos que T(x, y) = (2y, x) , então a matriz associada a T será:
A = 0 & 2 1 & 0

Passo 3

Agora, para verificar se A é diagonalizável, precisamos encontrar os autovalores (valores próprios) da matriz. Para isso, resolvemos a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores.
Substituindo A e I :
det( 0 & 2 1 & 0 - lambda & 0 0 & lambda ) = det -lambda & 2 1 & -lambda = 0
Calculando o determinante:
(-lambda)(-lambda) - (2)(1) = lambda^2 - 2 = 0
Então:
lambda^2 = 2 implies lambda = raiz2 ou lambda = -raiz2

Passo 4

Com os autovalores encontrados, agora vamos achar os autovetores correspondentes a cada lambda .
Para lambda = raiz2 :
(A - raiz2 I)v = 0 implies -raiz2 & 2 1 & -raiz2 v1 v2 = 0 0
Isso dá o sistema:
-raiz2 v1 + 2 v2 = 0 v1 - raiz2 v2 = 0
Resolvendo, temos v1 = raiz2 v2 . Podemos escolher v2 = 1 , então o autovetor é v = raiz2 1 .
Para lambda = -raiz2 :
(A + raiz2 I)v = 0 implies raiz2 & 2 1 & raiz2 v1 v2 = 0 0
O sistema fica:
raiz2 v1 + 2 v2 = 0 v1 + raiz2 v2 = 0
Resolvendo, temos v1 = -raiz2 v2 . Escolhendo v2 = 1 , o autovetor é v = -raiz2 1 .

Passo 5

Agora que encontramos dois autovalores distintos e dois autovetores correspondentes linearmente independentes, podemos concluir que a matriz A é diagonalizável.
Para diagonalizar, montamos a matriz P com os autovetores como colunas e a matriz diagonal D com os autovalores na diagonal:
P = raiz2 & -raiz2 1 & 1 , D = raiz2 & 0 0 & -raiz2

Resposta

O operador T é diagonalizável e a matriz diagonal D é:
D = raiz2 & 0 0 & -raiz2

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