Utilizando o método da potência (direto e inverso) para determinar o maior e menor autovalor, e seu correspondente autovetor para a matriz abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é usar o método da potência, tanto o direto quanto o inverso, para encontrar o maior e o menor autovalor da matriz A e os respectivos autovetores. O método da potência é uma técnica iterativa usada para encontrar o maior autovalor em módulo de uma matriz e seu autovetor associado. Já o método da potência inversa é usado para encontrar o menor autovalor. Vamos precisar entender um pouquinho sobre autovalores, autovetores e como esses métodos funcionam para aplicar direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor e um autovetor. Para uma matriz A , um autovalor lambda e um autovetor v satisfazem a equação:
Av = lambda v
Nosso objetivo é encontrar os valores de lambda (autovalores) e os vetores v (autovetores) que cumprem essa equação para a matriz dada:
A = 400 & -200 -200 & 400
Passo 3
Vamos começar usando o método da potência direto para encontrar o maior autovalor. A ideia é escolher um vetor inicial v0 , multiplicá-lo por A repetidamente e, a cada passo, normalizar o resultado. Com o passar das iterações, o vetor converge para o autovetor dominante, e a razão entre os componentes sucessivos converge para o maior autovalor.
Escolhemos, por simplicidade, um vetor inicial v0 = 1 1 .
Vamos multiplicar A por v0 :
Av0 = 400 & -200 -200 & 400 1 1 = 400 times 1 + (-200) times 1 -200 times 1 + 400 times 1 = 200 200
Percebemos que o vetor já está convergindo. Agora, para encontrar o autovalor, podemos usar a relação:
lambda approx Av2v2 = 400 times 0.7071 - 200 times 0.70710.7071 = 282.84 - 141.420.7071 = 141.420.7071 approx 200
Passo 5
Agora, vamos usar o método da potência inverso para encontrar o menor autovalor. Esse método envolve resolver (A - sigma I)^-1 v = mu v , onde mu = 1lambda - sigma . Para facilitar, escolhemos sigma = 0 , então mu = 1lambda , e o menor autovalor de A será o inverso do maior autovalor de A^-1 .
Primeiro, calculamos A^-1 :
A = 400 & -200 -200 & 400
O determinante de A é:
det(A) = 400 times 400 - (-200) times (-200) = 160000 - 40000 = 120000
A^-1v1 = 1300 & 1600 1600 & 1300 0.7071 0.7071 = 1300 times 0.7071 + 1600 times 0.7071 1600 times 0.7071 + 1300 times 0.7071 = 0.002357 + 0.001179 0.001179 + 0.002357 = 0.003536 0.003536
Normalizando novamente, vemos que o vetor já está convergindo. Para encontrar o autovalor de A^-1 :
mu approx A^-1v1v1 = 0.0035360.7071 approx 0.005
Então, o menor autovalor de A é:
lambdamín = 1mu = 10.005 = 200 í
Resposta
O maior autovalor de A é lambdamáx = 200 á com o autovetor correspondente vmáx = 0.7071 0.7071 á. O menor autovalor de A é lambdamín = 200 í com o autovetor correspondente vmín = 0.7071 0.7071 í.