Seja T: R^3 R^3 a transformação linear que reflete cada vetor em relação ao plano x3=0. Ou seja, T(x1, x2, x3)=(x1,-x2, x3). Encontre a matriz A canônica de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz canônica A de uma transformação linear T: R^3 R^3 que reflete cada vetor em relação ao plano x3 = 0 . Ou seja, T(x1, x2, x3) = (x1, -x2, x3) .
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e matrizes canônicas. Para resolver, vamos precisar entender como representar essa transformação em forma de matriz, usando as propriedades das bases canônicas (vetores e1, e2, e3 ).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz canônica A de uma transformação linear T , precisamos ver como T age nos vetores da base canônica de R^3 . A base canônica é formada por:
e1 = 1 0 0, e2 = 0 1 0, e3 = 0 0 1
Vamos aplicar T em cada um desses vetores.

Passo 3

Aplicando T em e1 :
T(e1) = T(1, 0, 0) = (1, -0, 0) = 1 0 0 = e1
Isso significa que a primeira coluna da matriz A será igual a e1 .

Passo 4

Agora, aplicando T em e2 :
T(e2) = T(0, 1, 0) = (0, -1, 0) = 0 -1 0
Portanto, a segunda coluna da matriz A será 0 -1 0 .

Passo 5

Por último, vamos aplicar T em e3 :
T(e3) = T(0, 0, 1) = (0, -0, 1) = 0 0 1 = e3
Assim, a terceira coluna da matriz A será igual a e3 .

Resposta

A matriz canônica A da transformação T é:
A = 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1

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