Seja a transformação linear que reflete cada vetor em relação ao plano . Ou seja, . Encontre a matriz canônica de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a matriz canônica de uma transformação linear que reflete cada vetor em relação ao plano . Ou seja, .
Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e matrizes canônicas. Para resolver, vamos precisar entender como representar essa transformação em forma de matriz, usando as propriedades das bases canônicas (vetores ).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar a matriz canônica de uma transformação linear , precisamos ver como age nos vetores da base canônica de . A base canônica é formada por:
Vamos aplicar T em cada um desses vetores.
Passo 3
Aplicando T em e1 :
T(e1) = T(1, 0, 0) = (1, -0, 0) = 1 0 0 = e1
Isso significa que a primeira coluna da matriz A será igual a e1 .
Passo 4
Agora, aplicando T em e2 :
T(e2) = T(0, 1, 0) = (0, -1, 0) = 0 -1 0
Portanto, a segunda coluna da matriz A será 0 -1 0 .
Passo 5
Por último, vamos aplicar T em e3 :
T(e3) = T(0, 0, 1) = (0, -0, 1) = 0 0 1 = e3
Assim, a terceira coluna da matriz A será igual a e3 .