Suponha que uma matriz B quadrada 2 times 2 comuta com toda matriz A quadrada 2 times 2, isto é, A B=B A. Mostre que B=(cck & 0 0 & k), para algum escalar k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma matriz quadrada B de ordem 2 times 2 que comuta com qualquer outra matriz quadrada A de 2 times 2 precisa ser uma matriz diagonal com os mesmos valores na diagonal principal, ou seja:
B = k & 0 0 & k
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes que comutam e propriedades de matrizes diagonais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que B comuta com qualquer matriz A . Isso quer dizer que, para qualquer A , a multiplicação AB é igual a BA . Vamos escrever B de forma geral:
B = a & b c & d
E escolher uma matriz A específica para facilitar a análise.

Passo 3

Escolhemos uma matriz A que tem 1 em uma posição e 0 nas outras, por exemplo:
A = 1 & 0 0 & 0
Vamos calcular AB e BA :
AB = 1 & 0 0 & 0 a & b c & d = a & b 0 & 0
BA = a & b c & d 1 & 0 0 & 0 = a & 0 c & 0

Passo 4

Como AB = BA , igualamos as matrizes resultantes:
a & b 0 & 0 = a & 0 c & 0
Isso implica que b = 0 e c = 0 .

Passo 5

Agora, com b = 0 e c = 0 , a matriz B fica:
B = a & 0 0 & d
Para mostrar que a = d , escolhemos outra matriz A .

Passo 6

Escolhemos:
A = 0 & 1 0 & 0
Vamos calcular AB e BA :
AB = 0 & 1 0 & 0 a & 0 0 & d = 0 & d 0 & 0
BA = a & 0 0 & d 0 & 1 0 & 0 = 0 & a 0 & 0

Passo 7

Igualando AB e BA :
0 & d 0 & 0 = 0 & a 0 & 0
Isso mostra que d = a .

Resposta

Portanto, a matriz B é da forma:
B = k & 0 0 & k
onde k = a = d .

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