Suponha que uma matriz quadrada comuta com toda matriz quadrada , isto é, . Mostre que , para algum escalar k.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma matriz quadrada B de ordem 2 times 2 que comuta com qualquer outra matriz quadrada A de 2 times 2 precisa ser uma matriz diagonal com os mesmos valores na diagonal principal, ou seja:
B = k & 0 0 & k
Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes que comutam e propriedades de matrizes diagonais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que B comuta com qualquer matriz A . Isso quer dizer que, para qualquer A , a multiplicação AB é igual a BA . Vamos escrever B de forma geral:
B = a & b c & d
E escolher uma matriz A específica para facilitar a análise.
Passo 3
Escolhemos uma matriz A que tem 1 em uma posição e 0 nas outras, por exemplo:
A = 1 & 0 0 & 0
Vamos calcular AB e BA :
AB = 1 & 0 0 & 0 a & b c & d = a & b 0 & 0
BA = a & b c & d 1 & 0 0 & 0 = a & 0 c & 0
Passo 4
Como AB = BA , igualamos as matrizes resultantes:
a & b 0 & 0 = a & 0 c & 0
Isso implica que b = 0 e c = 0 .
Passo 5
Agora, com b = 0 e c = 0 , a matriz B fica:
B = a & 0 0 & d
Para mostrar que a = d , escolhemos outra matriz A .