Diga quais operadores são diagonalizáveis e calcule D:
T: R^3 R^3 tal que (x, y, z) (x+y, x-y+2 z, 2 x+y-z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para identificar quais operadores (ou matrizes) são diagonalizáveis e, especificamente, calcular a matriz diagonal D para o operador T definido por:
T: R^3 R^3 tal que (x, y, z) (x+y, x-y+2z, 2x+y-z)
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diagonalização de matrizes, que envolve encontrar uma base de autovetores e uma matriz diagonal que representa a transformação T nessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador T como uma matriz. Para isso, observamos como T age nos vetores da base padrão de R^3 :
  • T(1, 0, 0) = (1+0, 1-0+0, 2cdot1 + 0 -0) = (1, 1, 2)
  • T(0, 1, 0) = (0+1, 0-1+0, 0+1-0) = (1, -1, 1)
  • T(0, 0, 1) = (0+0, 0-0+2cdot1, 0+0-1) = (0, 2, -1)
Assim, a matriz de T é:
A = 1 & 1 & 0 1 & -1 & 2 2 & 1 & -1

Passo 3

Agora, para verificar se A é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Fazemos isso resolvendo o determinante det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores.
A - lambda I = 1-lambda & 1 & 0 1 & -1-lambda & 2 2 & 1 & -1-lambda
Calculando o determinante:
det(A - lambda I) = (1-lambda)[(-1-lambda)(-1-lambda) - 2 cdot 1] - 1[1 cdot (-1-lambda) - 2 cdot 2] + 0
Simplificando:
det(A - lambda I) = (1-lambda)[(lambda+1)^2 - 2] - [(-1-lambda) - 4]
= (1-lambda)(lambda^2 + 2lambda +1 -2) - (-lambda -5)
= (1-lambda)(lambda^2 + 2lambda -1) + lambda +5
Expande e simplifica:
= lambda^2 + 2lambda -1 - lambda^3 - 2lambda^2 + lambda + lambda +5
= -lambda^3 - lambda^2 + 4lambda +4
Então, a equação característica é:
-lambda^3 - lambda^2 + 4lambda +4 = 0 Rightarrow lambda^3 + lambda^2 - 4lambda -4 = 0

Passo 4

Vamos resolver lambda^3 + lambda^2 - 4lambda -4 = 0 para encontrar os autovalores. Testando possíveis raízes racionais, vemos que lambda = 1 :
1^3 + 1^2 - 4 cdot 1 -4 = 1 +1 -4 -4 = -6 neq 0
Tentando lambda = -1 :
(-1)^3 + (-1)^2 -4(-1) -4 = -1 +1 +4 -4 = 0
Então, lambda = -1 é uma raiz. Agora, vamos fatorar (lambda +1) da equação:
lambda^3 + lambda^2 -4lambda -4 = (lambda +1)(lambda^2 + 0lambda -4) = (lambda +1)(lambda^2 -4)
Então, as raízes são lambda = -1, 2, -2 . Então, os autovalores são -1, 2, -2 .

Passo 5

Como temos três autovalores distintos, a matriz A é diagonalizável. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para formar a matriz de autovetores P , e a matriz diagonal D .
Vamos encontrar os autovetores para cada lambda .
Para lambda = -1 :
Resolvemos (A + I)v = 0 :
2 & 1 & 0 1 & 0 & 2 2 & 1 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, obtemos v = ( -1, 2, -1 ) .
Para lambda = 2 :
Resolvemos (A - 2I)v = 0 :
-1 & 1 & 0 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, obtemos v = (1, 1, 1) .
Para lambda = -2 :
Resolvemos (A + 2I)v = 0 :
3 & 1 & 0 1 & 1 & 2 2 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, obtemos v = ( -1, 1, 1 ) .

Passo 6

Agora, montamos a matriz de autovetores P com os vetores encontrados e a matriz diagonal D com os autovalores:
P = -1 & 1 & -1 2 & 1 & 1 -1 & 1 & 1 , D = -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -2

Resposta

A matriz A é diagonalizável e a matriz diagonal correspondente é:
D = -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -2

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