Diga quais operadores são diagonalizáveis e calcule D: tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para identificar quais operadores (ou matrizes) são diagonalizáveis e, especificamente, calcular a matriz diagonal para o operador definido por:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre diagonalização de matrizes, que envolve encontrar uma base de autovetores e uma matriz diagonal que representa a transformação nessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador como uma matriz. Para isso, observamos como age nos vetores da base padrão de :
Assim, a matriz de é:
Passo 3
Agora, para verificar se A é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores. Fazemos isso resolvendo o determinante det(A - lambda I) = 0 , onde I é a matriz identidade e lambda são os autovalores.
A - lambda I = 1-lambda & 1 & 0 1 & -1-lambda & 2 2 & 1 & -1-lambda
Então, as raízes são lambda = -1, 2, -2 . Então, os autovalores são -1, 2, -2 .
Passo 5
Como temos três autovalores distintos, a matriz A é diagonalizável. Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor para formar a matriz de autovetores P , e a matriz diagonal D .
Vamos encontrar os autovetores para cada lambda .
Para lambda = -1 :
Resolvemos (A + I)v = 0 :
2 & 1 & 0 1 & 0 & 2 2 & 1 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, obtemos v = ( -1, 2, -1 ) .
Para lambda = 2 :
Resolvemos (A - 2I)v = 0 :
-1 & 1 & 0 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, obtemos v = (1, 1, 1) .
Para lambda = -2 :
Resolvemos (A + 2I)v = 0 :
3 & 1 & 0 1 & 1 & 2 2 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0
Resolvendo, obtemos v = ( -1, 1, 1 ) .
Passo 6
Agora, montamos a matriz de autovetores P com os vetores encontrados e a matriz diagonal D com os autovalores: