O enunciado pergunta “o que é a dimensão de um espaço vetorial?”. Esse é um conceito de Álgebra Linear que envolve bases e cardinalidade de conjuntos geradores minimais.
Passo 2
Para entender dimensão, primeiro recorde o que é uma base de um espaço vetorial sobre um corpo : . Os vetores de uma base são linearmente independentes. . Qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base (a base gera ).
Passo 3
A dimensão de , denotada , é definida como a cardinalidade (número de elementos) de qualquer base de . Em particular:
Teorema fundamental: se V admite base finita, então todas as bases de V têm o mesmo número de vetores, garantindo que dim(V) seja bem definida. Se não existe base finita, dizemos que V é de dimensão infinita.
Passo 4
Alguns exemplos comuns:
– O espaço R^n tem dimensão n, pois a base canônica e1,dots,en tem n vetores.
– O espaço dos polinômios de grau <= m, denotado Pm, tem dimensão m+1, pois a base 1,x,x^2,dots,x^m tem m+1 elementos.
Resposta
A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V; isso mede quantos graus de liberdade V tem, podendo ser um número natural (caso finito) ou indicar que V é de dimensão infinita.