O que é a dimensão de um espaço vetorial?

Passo 1

O enunciado pergunta “o que é a dimensão de um espaço vetorial?”. Esse é um conceito de Álgebra Linear que envolve bases e cardinalidade de conjuntos geradores minimais.

Passo 2

Para entender dimensão, primeiro recorde o que é uma base de um espaço vetorial V sobre um corpo K:
1. Os vetores de uma base são linearmente independentes.
2. Qualquer vetor de V pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base (a base gera V).

Passo 3

A dimensão de V, denotada dim(V), é definida como a cardinalidade (número de elementos) de qualquer base de V. Em particular:
dim(V) = l|vetores de uma base de Vr|
Teorema fundamental: se V admite base finita, então todas as bases de V têm o mesmo número de vetores, garantindo que dim(V) seja bem definida. Se não existe base finita, dizemos que V é de dimensão infinita.

Passo 4

Alguns exemplos comuns:
– O espaço R^n tem dimensão n, pois a base canônica e1,dots,en tem n vetores.
– O espaço dos polinômios de grau <= m, denotado Pm, tem dimensão m+1, pois a base 1,x,x^2,dots,x^m tem m+1 elementos.

Resposta

A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V; isso mede quantos graus de liberdade V tem, podendo ser um número natural (caso finito) ou indicar que V é de dimensão infinita.

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