Seja v1=[c3 4 -2 -5], v2=[l4 3 2 4] e v3=[c2 5 -6 -14]. Pode-se verificar que 2 v1-v2-v3=0.
Use essa informação para determinar uma base para H=Lv1, v2, v3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá três vetores no espaço R^4 e uma relação entre eles: 2 v1 - v2 - v3 = 0. O objetivo é encontrar uma base para o espaço H = Lv1, v2, v3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais, combinação linear e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a relação 2 v1 - v2 - v3 = 0. Essa equação mostra que uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3 resulta no vetor nulo. Isso indica que os três vetores são linearmente dependentes, ou seja, pelo menos um deles pode ser escrito como combinação dos outros.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para expressar v3 em termos de v1 e v2:
2 v1 - v2 = v3
Isso mostra que v3 não acrescenta nada novo ao espaço gerado por v1 e v2. Portanto, para encontrar uma base para H, podemos focar apenas em v1 e v2.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se [\mathbf{v}_{1}) e são linearmente independentes. Se forem, elas formam uma base. Para isso, supomos que existe uma combinação linear igual a zero:
Substituindo os vetores:
Isso resulta em um sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vemos que a única solução é , o que significa que e são linearmente independentes.

Passo 5

Como v1 e v2 são linearmente independentes e v3 pode ser escrito como uma combinação deles, concluímos que v1, v2 é uma base para o espaço H.

Resposta

Uma base para H é formada pelos vetores v1 e v2, ou seja:
B = , v1, v2 ,

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