Seja (xn) a sequência das frações decimais positivas próprias organizadas como indicado abaixo:
(xn)=(110, 210, 310, 410, 510, 610, 710, 810, 910, 1100, 2100, ldots, 99100, 11000, 21000, 31000, ldots, 9991000, ldots)
Escreva os cinco primeiros termos de uma subsequência de (xn) que seja constante igual a 12.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma sequência de frações decimais positivas organizadas de um jeito específico. O conteúdo envolve sequências e subsequências na Matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender como a sequência está organizada e como identificar os termos que são iguais a 12.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a sequência (xn) está organizada. Ela começa com frações de décimos, depois passa para centésimos, milésimos e assim por diante. Ou seja:
(xn) = (110, 210, ldots, 910, 1100, 2100, ldots, 99100, 11000, ldots)

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar uma subsequência dentro dessa sequência onde todos os termos são iguais a 12. Uma subsequência é basicamente pegar alguns termos nessa ordem, sem precisar pegar todos.

Passo 4

Vamos procurar por termos iguais a 12 na sequência. Observando as frações, sabemos que 12 = 510 = 50100 = 5001000, e assim por diante. Portanto, na sequência original, 12 aparece nas posições dos décimos, centésimos, milésimos, etc., onde o numerador é exatamente a metade do denominador.

Passo 5

Agora, vamos identificar as posições específicas onde 12 aparece:
  1. 510 – aqui, 5 é metade de 10.
  2. 50100 – 50 é metade de 100.
  3. 5001000 – 500 é metade de 1000.
  4. 500010000 – e assim por diante.
  5. Continuando esse padrão, sempre que o numerador for metade do denominador, encontramos outro 12.

Passo 6

Para escrever os cinco primeiros termos da subsequência constante igual a 12, basta listar essas frações:
(510, 50100, 5001000, 500010000, 50000100000)

Resposta

Os cinco primeiros termos da subsequência constante igual a 12 são:
(510, 50100, 5001000, 500010000, 50000100000)

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