Diga porque o conjunto W NÃO é subespaço do espaço vetorial V indicado:
W=[-1,1] times R em V=R^2 Dica: W é uma faixa infinita: -1 <= x <= 1 e y livre.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = R^2 e o subconjunto
W = [-1,1]times R,
ou seja, todos os vetores cuja primeira componente x satisfaz -1 <= x <= 1 e a segunda é qualquer real. Queremos ver por que W NÃO é um subespaço de V.

Passo 2

Para que um subconjunto Wsubset V seja subespaço, é preciso que:
  1. O vetor zero (0,0) esteja em W.
  2. Para quaisquer u,vin W, o soma u+v também esteja em W.
  3. Para qualquer vin W e lambdainR, o produto lambda v pertença a W.

Passo 3

O conjunto W falha na propriedade de fechamento sob adição. Basta um contraexemplo:
u = (1,0)in W, v = (1,0)in W
pois 1in[-1,1] e 0inR. Mas
u+v = (2,0),
e 2notin[-1,1], logo (2,0)notin W. Como a soma de dois vetores de W não fica em W, falha a condição de subespaço.

Passo 4

Como não há fechamento sob adição, W não satisfaz todas as condições para ser subespaço de V. Portanto, W NÃO é um subespaço de R^2.

Resposta

W não é subespaço de R^2 porque não é fechado sob adição (por exemplo, (1,0)in W mas (1,0)+(1,0)=(2,0)notin W).

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