Diga porque o conjunto
NÃO é subespaço do espaço vetorial
indicado:
em
Dica:
é uma faixa infinita:
e
livre.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
ou seja, todos os vetores cuja primeira componente
satisfaz
e a segunda é qualquer real. Queremos ver por que
NÃO é um subespaço de
.
Passo 2
Para que um subconjunto
seja subespaço, é preciso que:
- O vetor zero
esteja em . - Para quaisquer
, o soma também esteja em . - Para qualquer
e , o produto pertença a .
Passo 3
O conjunto
falha na propriedade de fechamento sob adição. Basta um contraexemplo:
pois
e
. Mas
e
, logo
. Como a soma de dois vetores de
não fica em
, falha a condição de subespaço.
Passo 4
Como não há fechamento sob adição,
não satisfaz todas as condições para ser subespaço de
. Portanto,
NÃO é um subespaço de
.