Diga quais possíveis valores de b in R tornam a matriz abaixo invertível?
A=(cccc 1 & -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & -1 b & 1 & 1 & 0 0 & -1 & b & 1 )

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de binR para os quais a matriz
A= 1 & -1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 & -1 b & 1 & 1 & 0 0 & -1 & b & 1
é invertível. Sabemos que isso ocorre exatamente quando det(A)neq 0.

Passo 2

Vamos calcular det(A) expandindo pela terceira coluna, que tem zeros nas duas primeiras entradas. Chamando de Mij o menor obtido ao eliminar a linha i e a coluna j,
det(A) =1cdot(-1)^3+3det(M33) ;+;bcdot(-1)^4+3det(M43) =det(M33)-b,det(M43)

Passo 3

Calcular det(M33). O menor M33 é a matriz 3times 3 formada pelas linhas 1,2, 4 e colunas 1,2, 4:
M33= 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 0 & -1 & 1
Fazendo a expansão por qualquer linha ou coluna, chega-se a
det(M33)=0

Passo 4

Calcular det(M43). O menor M43 é a matriz 3times 3 formada pelas linhas 1,2, 3 e colunas 1,2, 4:
M43= 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 b & 1 & 0
Expandindo pela primeira linha, obtemos
det(M43) = 1cdot(1cdot0-(-1)cdot1);-;(-1)cdot(1cdot0-(-1)cdot b);+;1cdot(1cdot1-1cdot b) =1 + b + (1-b)=2

Passo 5

Substituindo em det(A)=det(M33)-b,det(M43), vem
det(A) = 0 - bcdot 2 = -2b
Logo det(A)neq0 exatamente quando bneq0.

Resposta

A matriz A é invertível para todos os binR tais que
b neq 0

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