Seja T(x, y, z)=(4x+2y+2z, 6x+2z, 12x+4y+2z) para (x, y, z) in R^3.
Determine T^-1.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Queremos . Para isso, vamos identificar a matriz de , verificar que ela é invertível e depois resolver o sistema
para obter .

Passo 2

Escrevendo T na forma matricial, temos
A = 4 & 2 & 2 6 & 0 & 2 12 & 4 & 2 ,
de modo que T(x,y,z) = A,(x,y,z)^T. Calculamos o determinante para garantir que A é invertível:
det A =40&24&2 -26&212&2 +26&012&4 =4(0-8)-2(12-24)+2(24-0) =-32+24+48=40neq0
Portanto A é invertível e T tem inversa única.

Passo 3

Da segunda equação do sistema definimos
v = 6x + 2z Longrightarrow z = v - 6x2

Passo 4

Substituímos essa expressão de z na terceira equação w = 12x + 4y + 2z:
w = 12x + 4y + 2!l(tfracv-6x2r) =12x + 4y + v - 6x =6x + 4y + v
Isolamos x em função de u,v,w usando também a primeira equação reformulada:
– Da primeira equação u = 4x+2y+2z, com z acima, vem
u = 4x + 2y + (v-6x) = -2x + 2y + v Longrightarrow 2y = u + 2x - v
– Da expressão para w obtemos
w = 6x + 4y + v =6x +2,(u+2x-v)+v =6x +2u+4x-2v+v =10x +2u - v,
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10x = w -2u + v Longrightarrow x = w - 2u + v10

Passo 5

Com x em mãos, voltamos à fórmula de y:
2y = u + 2x - v = u + 2l(tfracw - 2u + v10r) - v = 6u + 2w - 8v10,
y = 6u + 2w -8v20 = 3u + w -4v10
E finalmente recuperamos z da expressão do Passo 3:
z = v - 6x2 = v - 6,l(w-2u+v10r)2 = 6u + 2v -3w10

Passo 6

Reagrupando, obtemos
T^-1(u,v,w) = l(x,y,zr) = l(tfrac-2u+v+w10,;tfrac3u-4v+w10,;tfrac6u+2v-3w10r)

Resposta

T^-1(u,v,w) = l(-2u+v+w10,;3u-4v+w10,;6u+2v-3w10r)

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