Queremos mostrar que é um isomorfismo, ou seja, que é linear e bijetora. Para isso, basta escrevê-la como matriz na base canônica e verificar que essa matriz é invertível (determinante não nulo).
Passo 2
Primeiro, notamos que é combinação linear das coordenadas de , logo é linear. Na base canônica a matriz de é
pois cada coluna é T(ei).
Passo 3
Calculamos o determinante de A. Usando a expansão pela primeira linha:
det(A) =4det!0&24&2 -2det!6&212&2 +2det!6&012&4
Agora cada menor:
det!0&24&2=0cdot2-2cdot4=-8,
det!6&212&2=6cdot2-2cdot12=-12,
det!6&012&4=6cdot4-0cdot12=24
Substituindo:
det(A)=4(-8)-2(-12)+2(24)=-32+24+48=40neq0
Passo 4
Como det(A)=40neq0, a matriz A é invertível. Logo a transformação linear T é bijetora e, portanto, é um isomorfismo de R^3.
Resposta
T é um isomorfismo, pois sua matriz na base canônica tem determinante 40neq0.