Seja T(x, y, z)=(4x+2y+2z, 6x+2z, 12x+4y+2z) para (x, y, z) in R^3.
Verifique que T é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado define a transformação
TcolonR^3toR^3 por
T(x,y,z) = (4x+2y+2z,;6x+2z,;12x+4y+2z)
Queremos mostrar que T é um isomorfismo, ou seja, que é linear e bijetora. Para isso, basta escrevê-la como matriz na base canônica e verificar que essa matriz é invertível (determinante não nulo).

Passo 2

Primeiro, notamos que T é combinação linear das coordenadas de (x,y,z), logo é linear. Na base canônica e1,e2,e3 a matriz de T é
A = 4 & 2 & 2 6 & 0 & 2 12 & 4 & 2 ,
pois cada coluna é T(ei).

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Usando a expansão pela primeira linha:
det(A) =4det!0&24&2 -2det!6&212&2 +2det!6&012&4
Agora cada menor:
det!0&24&2=0cdot2-2cdot4=-8,
det!6&212&2=6cdot2-2cdot12=-12,
det!6&012&4=6cdot4-0cdot12=24
Substituindo:
det(A)=4(-8)-2(-12)+2(24)=-32+24+48=40neq0

Passo 4

Como det(A)=40neq0, a matriz A é invertível. Logo a transformação linear T é bijetora e, portanto, é um isomorfismo de R^3.

Resposta

T é um isomorfismo, pois sua matriz na base canônica tem determinante 40neq0.

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