Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
limitada e crescente.
limitada e crescente.
Passo 1
O enunciado pede: dizer se é possível apresentar exemplos de sequências que sejam simultaneamente limitadas e crescentes. Se for possível, apresentar dois exemplos; se não, justificar por que não.
Informações dadas: não há mais restrições — basta achar sequências reais com as duas propriedades (ou justificar impossibilidade).
Informações dadas: não há mais restrições — basta achar sequências reais com as duas propriedades (ou justificar impossibilidade).
Passo 2
Definição de limitada (bem mastigada).
Uma sequência é limitada se existem dois números reais
e
tais que, para todo
, vale
Uma sequência
Em palavras: todos os termos ficam dentro de um intervalo finito
. Quando isto ocorre dizemos que a sequência é limitada superiormente (se existe
) e limitada inferiormente (se existe
); se existem ambos, dizemos simplesmente “limitada”.
Passo 3
Definição de crescente (explicada com cuidado).
Há duas noções que às vezes aparecem:
Há duas noções que às vezes aparecem:
- “Crescente” no sentido fraco (ou não decrescente): uma sequência
é crescente se, para todo ,
- “Estritamente crescente”: para todo
,
Vou entender “crescente” como ao menos não decrescente (a mesma interpretação que a maioria dos livros usa), e quando um exemplo for estritamente crescente eu vou dizer explicitamente. O objetivo é encontrar sequências que satisfaçam ambas as propriedades: serem limitadas e crescentes.
Passo 4
Primeiro exemplo (simples e clássico). Defino a sequência
por
Mostrando que é crescente:
para todo
. Logo
é estritamente crescente. Mostrando que é limitada: para todo
temos
, então
Portanto
é limitada inferiormente por
e limitada superiormente por
— isto é, limitada.
Passo 5
Segundo exemplo (geométrico, também clássico). Defino a sequência
por
Mostrando que é crescente:
Logo
é estritamente crescente. Mostrando que é limitada: para todo
tem
, então
Portanto
é limitada (inferior por
, superior por
).
Passo 6
Observações finais e variações rápidas (didáticas).
- Ambos os exemplos são estritamente crescentes e têm limite
; isto é típico: sequências crescentes e limitadas superiormente convergem para seu supremo (teorema do ponto fixo da monotonia / propriedade do supremo). - Se aceitarmos “crescente” no sentido fraco, uma alternativa ainda mais simples é a sequência constante
com fixo: ela é crescente (pois ) e obviamente limitada. Atenção: constante não é estritamente crescente. - Conclusão prática para a prova: é perfeitamente possível ter sequências limitadas e (estritamente) crescentes; exemplos simples e verificáveis são
e .