Diga se é possível apresentar exemplos de sequências com as característias presentes em cada item abaixo. Em caso positivo, apresente dois exemplos. Em caso negativo, justifique.
limitada e crescente.

Passo 1

O enunciado pede: dizer se é possível apresentar exemplos de sequências que sejam simultaneamente limitadas e crescentes. Se for possível, apresentar dois exemplos; se não, justificar por que não.
Informações dadas: não há mais restrições — basta achar sequências reais com as duas propriedades (ou justificar impossibilidade).

Passo 2

Definição de limitada (bem mastigada).
Uma sequência (x_n) é limitada se existem dois números reais m e M tais que, para todo n, vale
m \le x_n \le M.
Em palavras: todos os termos ficam dentro de um intervalo finito [m,M]. Quando isto ocorre dizemos que a sequência é limitada superiormente (se existe M) e limitada inferiormente (se existe m); se existem ambos, dizemos simplesmente “limitada”.

Passo 3

Definição de crescente (explicada com cuidado).
Há duas noções que às vezes aparecem:
  • “Crescente” no sentido fraco (ou não decrescente): uma sequência (x_n) é crescente se, para todo n,
x_{n+1} \ge x_n.
  • “Estritamente crescente”: para todo n,
x_{n+1} > x_n.
Vou entender “crescente” como ao menos não decrescente (a mesma interpretação que a maioria dos livros usa), e quando um exemplo for estritamente crescente eu vou dizer explicitamente. O objetivo é encontrar sequências que satisfaçam ambas as propriedades: serem limitadas e crescentes.

Passo 4

Primeiro exemplo (simples e clássico). Defino a sequência (a_n) por
a_n = 1 - \frac{1}{n},\qquad n\ge 1.
Mostrando que é crescente:
a_{n+1}-a_n = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} > 0
para todo n\ge 1. Logo (a_n) é estritamente crescente. Mostrando que é limitada: para todo n\ge 1 temos 0 \le \dfrac{1}{n}\le 1, então
0 \le a_n = 1-\frac{1}{n} < 1.
Portanto (a_n) é limitada inferiormente por 0 e limitada superiormente por 1 — isto é, limitada.

Passo 5

Segundo exemplo (geométrico, também clássico). Defino a sequência (b_n) por
b_n = 1 - 2^{-n},\qquad n\ge 1.
Mostrando que é crescente:
b_{n+1}-b_n = \left(1-2^{-(n+1)}\right)-\left(1-2^{-n}\right) = 2^{-n}-2^{-(n+1)}=2^{-(n+1)}>0.
Logo (b_n) é estritamente crescente. Mostrando que é limitada: para todo n\ge 1 tem 0<2^{-n}\le 1, então
0 \le b_n = 1-2^{-n} < 1.
Portanto (b_n) é limitada (inferior por 0, superior por 1).

Passo 6

Observações finais e variações rápidas (didáticas).
  • Ambos os exemplos são estritamente crescentes e têm limite \,1; isto é típico: sequências crescentes e limitadas superiormente convergem para seu supremo (teorema do ponto fixo da monotonia / propriedade do supremo).
  • Se aceitarmos “crescente” no sentido fraco, uma alternativa ainda mais simples é a sequência constante (c_n) com c_n=c fixo: ela é crescente (pois c_{n+1}=c_n) e obviamente limitada. Atenção: constante não é estritamente crescente.
  • Conclusão prática para a prova: é perfeitamente possível ter sequências limitadas e (estritamente) crescentes; exemplos simples e verificáveis são 1-\dfrac{1}{n} e 1-2^{-n}.

Resposta

a_n = 1 - \dfrac{1}{n},\qquad n\ge 1
b_n = 1 - 2^{-n},\qquad n\ge 1

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