Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de equações diofantinas! A equação que a gente tem aqui é
. Nosso objetivo é descobrir se essa equação tem pelo menos uma solução onde
e
são números inteiros. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra básica e entender como manipular essa equação para encontrar possíveis valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar nossa análise. A equação é:
Podemos fatorar o 3 dos dois primeiros termos:
Agora, dividimos ambos os lados por 3 para isolar o termo com
e
:
Passo 3
Agora que a equação está simplificada para
, podemos ver que para qualquer valor inteiro de
, podemos encontrar um valor inteiro correspondente de
. Isso porque
será igual a
. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então .
E assim por diante. Isso mostra que sempre que escolhermos um valor inteiro para
, teremos um valor inteiro para
que satisfaz a equação.
Passo 4
Além disso, como podemos escolher qualquer valor inteiro para
e ainda obter um valor inteiro para
, isso significa que há infinitas soluções inteiras para essa equação. Ou seja, não estamos limitados a apenas uma ou duas soluções; podemos encontrar várias combinações de
e
que funcionam.
Resposta
Sim, a equação diofantina
possui pelo menos uma solução inteira.