Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
3 x+12 y=312

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de equações diofantinas! A equação que a gente tem aqui é 3x + 12y = 312. Nosso objetivo é descobrir se essa equação tem pelo menos uma solução onde x e y são números inteiros. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra básica e entender como manipular essa equação para encontrar possíveis valores de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar nossa análise. A equação é:
3x + 12y = 312
Podemos fatorar o 3 dos dois primeiros termos:
3(x + 4y) = 312
Agora, dividimos ambos os lados por 3 para isolar o termo com x e y:
x + 4y = 104

Passo 3

Agora que a equação está simplificada para x + 4y = 104, podemos ver que para qualquer valor inteiro de y, podemos encontrar um valor inteiro correspondente de x. Isso porque x será igual a 104 - 4y. Por exemplo:
  • Se y = 0, então x = 104 - 4(0) = 104.
  • Se y = 1, então x = 104 - 4(1) = 100.
  • Se y = 2, então x = 104 - 4(2) = 96.
E assim por diante. Isso mostra que sempre que escolhermos um valor inteiro para y, teremos um valor inteiro para x que satisfaz a equação.

Passo 4

Além disso, como podemos escolher qualquer valor inteiro para y e ainda obter um valor inteiro para x, isso significa que há infinitas soluções inteiras para essa equação. Ou seja, não estamos limitados a apenas uma ou duas soluções; podemos encontrar várias combinações de x e y que funcionam.

Resposta

Sim, a equação diofantina 3x + 12y = 312 possui pelo menos uma solução inteira.

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