Diga quais são as equações diofantinas a seguir que possuem pelo menos uma solução:
23 x+150 y=12354

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a equação diofantina abaixo tem pelo menos uma solução inteira:
23x + 150y = 12354
Estamos lidando com Equações Diofantinas, que são equações do tipo ax + by = c, onde a, b, c são números inteiros e queremos encontrar soluções inteiras para x e y. Para resolver isso, a gente precisa usar o Máximo Divisor Comum (MDC) dos coeficientes de x e y.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Máximo Divisor Comum (MDC) dos números 23 e 150. O MDC é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Como 23 é um número primo, ele só é divisível por 1 e por ele mesmo.
gcd(23, 150) = 1

Passo 3

Agora, para saber se a equação tem solução, precisamos verificar se o MDC que encontramos (1) divide o termo constante da equação, que é 12354.
Como qualquer número inteiro é divisível por 1, a condição é satisfeita:
1 ,|, 12354

Resposta

Sim, a equação diofantina 23x + 150y = 12354 possui pelo menos uma solução inteira.

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