Diga se o seguinte escoamento (eqs. 1, 2 e 3) é irrotacional. Sabe-se que em um escoamento irrotacional existe um potencial de velocidade dado pelas eqs. 4, 5 e 6 . Calcule o potencial de velocidade do escoamento (
).
Passo 1
O enunciado dá o escoamento com componentes de velocidade:
e afirma que, se o escoamento for irrotacional, existe um potencial de velocidade
tal que
O que se pede:
- Verificar se o escoamento é irrotacional (ou seja, se o rotacional/ vorticidade é nulo).
- Calcular explicitamente o potencial de velocidade
quando o escoamento for irrotacional.
Informações relevantes dadas: as expressões de
,
e
acima e a definição do potencial de velocidade por derivadas parciais.]
Passo 2
Explicando o conceito e a condição a verificar: um campo de velocidade
é irrotacional quando o rotacional (vorticidade)
é o vetor nulo. Em coordenadas cartesianas, os componentes da vorticidade
são
Aqui
são as componentes do rotacional ao longo de
. Se todas essas derivadas resultarem em zero para todos os pontos do domínio (e se o domínio for simplesmente conectado), o escoamento é irrotacional e existe um potencial
.]
Passo 3
Calcular cada derivada necessária usando as expressões fornecidas (toda derivada é tomada em relação à variável indicada, mantendo as outras constantes):
Como
, tem-se
Calcule
:
pois
não depende de
.
Logo
Calcule
:
pois
também não depende de
.
Logo
Calcule
e
:
Portanto
Passo 4
Conclusão sobre irrotacionalidade: como
para todos os pontos (com as expressões dadas), o rotacional é nulo. Sob a hipótese usual de um domínio simplesmente conectado (condição necessária para existir um potencial global), o escoamento é irrotacional e, portanto, existe um potencial de velocidade
tal que
Passo 5
Vamos encontrar
resolvendo as equações diferenciais parciais. Começamos integrando a relação
em relação a
, tratando
e
como constantes no processo de integração. A integral de
em
é
. A integral de
em
é
porque
é constante. Assim
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
(pois a integração foi feita só em relação a
).
Passo 6
Agora usamos a condição
para determinar
. Calcule a derivada parcial de
em relação a
:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando,
Dessa igualdade segue que
Portanto
não depende de
; isto é,
, uma função apenas de
.
Passo 7
Agora use a condição
. A expressão atual para
é
Diferenciando em relação a
,
Mas
, então devemos ter
. Assim
é constante:
, onde
é uma constante arbitrária (padrão numa potencialidade).
Passo 8
Portanto o potencial de velocidade, até uma constante aditiva irrelevante, é
Podemos escolher
se quisermos o potencial em forma mais simples.
Verificação rápida (útil na prova): checando as derivadas parciais de
obtidas, confirma-se que
,
e
, que coincidem com
.