Diga se o seguinte escoamento (eqs. 1, 2 e 3) é irrotacional. Sabe-se que em um escoamento irrotacional existe um potencial de velocidade dado pelas eqs. 4, 5 e 6 . Calcule o potencial de velocidade do escoamento ( \varphi ).
\begin{aligned} & u=a\left(x^{2}-y^{2}\right) \\ & v=-2 a x y \\ & w=0 \\ & u=\frac{d \varphi}{d x} \\ & v=\frac{d \varphi}{d y} \\ & w=\frac{d \varphi}{d z} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o escoamento com componentes de velocidade:
\begin{aligned} &u=a\left(x^{2}-y^{2}\right),\\[4pt] &v=-2a x y,\\[4pt] &w=0, \end{aligned}
e afirma que, se o escoamento for irrotacional, existe um potencial de velocidade \varphi tal que
\begin{aligned} &u=\frac{d\varphi}{d x},\\[4pt] &v=\frac{d\varphi}{d y},\\[4pt] &w=\frac{d\varphi}{d z}. \end{aligned}
O que se pede:
  • Verificar se o escoamento é irrotacional (ou seja, se o rotacional/ vorticidade é nulo).
  • Calcular explicitamente o potencial de velocidade \varphi(x,y,z) quando o escoamento for irrotacional.
Informações relevantes dadas: as expressões de u, v e w acima e a definição do potencial de velocidade por derivadas parciais.]

Passo 2

Explicando o conceito e a condição a verificar: um campo de velocidade \mathbf{v}=(u,v,w) é irrotacional quando o rotacional (vorticidade) \nabla\times\mathbf{v} é o vetor nulo. Em coordenadas cartesianas, os componentes da vorticidade \boldsymbol{\omega}=\nabla\times\mathbf{v} são
\begin{aligned} &\omega_x=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},\\[4pt] &\omega_y=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},\\[4pt] &\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}. \end{aligned}
Aqui \omega_x,\omega_y,\omega_z são as componentes do rotacional ao longo de x,y,z. Se todas essas derivadas resultarem em zero para todos os pontos do domínio (e se o domínio for simplesmente conectado), o escoamento é irrotacional e existe um potencial \varphi.]

Passo 3

Calcular cada derivada necessária usando as expressões fornecidas (toda derivada é tomada em relação à variável indicada, mantendo as outras constantes):
Como w=0, tem-se
\frac{\partial w}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial w}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=0.
Calcule \frac{\partial v}{\partial z}:
v=-2a x y \Longrightarrow \frac{\partial v}{\partial z}=0
pois v não depende de z.
Logo
\omega_x=\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z}=0-0=0.
Calcule \frac{\partial u}{\partial z}:
u=a\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)\Longrightarrow \frac{\partial u}{\partial z}=0
pois u também não depende de z.
Logo
\omega_y=\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x}=0-0=0.
Calcule \frac{\partial v}{\partial x} e \frac{\partial u}{\partial y}:
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\bigl(-2a x y\bigr)=-2a y,
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\bigl(a(x^{2}-y^{2})\bigr)=a\cdot(-2y)=-2a y.
Portanto
\omega_z=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=-2a y-(-2a y)=0.

Passo 4

Conclusão sobre irrotacionalidade: como \omega_x=\omega_y=\omega_z=0 para todos os pontos (com as expressões dadas), o rotacional é nulo. Sob a hipótese usual de um domínio simplesmente conectado (condição necessária para existir um potencial global), o escoamento é irrotacional e, portanto, existe um potencial de velocidade \varphi(x,y,z) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=u,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial y}=v,\qquad \frac{\partial \varphi}{\partial z}=w.

Passo 5

Vamos encontrar \varphi resolvendo as equações diferenciais parciais. Começamos integrando a relação
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=u=a\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr)
em relação a x, tratando y e z como constantes no processo de integração. A integral de a x^{2} em x é a\cdot \frac{x^{3}}{3}. A integral de -a y^{2} em x é -a y^{2} x porque y é constante. Assim
\varphi(x,y,z)=a\left(\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}\right)+G(y,z),
onde G(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z (pois a integração foi feita só em relação a x).

Passo 6

Agora usamos a condição \frac{\partial \varphi}{\partial y}=v para determinar G. Calcule a derivada parcial de \varphi em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=a\left(0-\;x\cdot 2y\right)+\frac{\partial G}{\partial y}=-2a x y + \frac{\partial G}{\partial y}.
Mas sabemos que \frac{\partial \varphi}{\partial y} deve ser igual a v=-2a x y. Igualando,
-2a x y + \frac{\partial G}{\partial y} = -2a x y.
Dessa igualdade segue que
\frac{\partial G}{\partial y}=0.
Portanto G não depende de y; isto é, G(y,z)=H(z), uma função apenas de z.

Passo 7

Agora use a condição \frac{\partial \varphi}{\partial z}=w. A expressão atual para \varphi é
\varphi(x,y,z)=a\left(\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}\right)+H(z).
Diferenciando em relação a z,
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=H'(z).
Mas w=0, então devemos ter H'(z)=0. Assim H é constante: H(z)=C, onde C é uma constante arbitrária (padrão numa potencialidade).

Passo 8

Portanto o potencial de velocidade, até uma constante aditiva irrelevante, é
\varphi(x,y,z)=a\left(\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}\right)+C.
Podemos escolher C=0 se quisermos o potencial em forma mais simples.
Verificação rápida (útil na prova): checando as derivadas parciais de \varphi obtidas, confirma-se que \partial\varphi/\partial x=a(x^{2}-y^{2}), \partial\varphi/\partial y=-2axy e \partial\varphi/\partial z=0, que coincidem com u,v,w.

Resposta

\varphi(x,y,z)=a\left(\frac{x^{3}}{3}-x y^{2}\right)+C

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