Diga se os seguintes cálculos são verdadeiros ou falsos, em geral. Dar exemplos numéricos para justificar.
raize^2 t+t^2 e^2 t=e^t+t e^t

Passo 1

Beleza, vamos analisar essa equação que a gente precisa dizer se é verdadeira ou falsa em geral. A equação é:
raize^2 t + t^2 e^2 t = e^t + t e^t
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e operações de raiz quadrada. Para resolver, vamos simplificar o lado esquerdo e ver se ele realmente é igual ao lado direito para todos os valores de $ t $. Se encontrarmos algum valor de $ t $ que torne a equação falsa, então ela não é verdadeira em geral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
raize^2 t + t^2 e^2 t
Perceba que podemos fatorar $ e^{2 t} $ de dentro da raiz:
e^2 t
Agora, usando a propriedade das raízes raize^2 t (1 + t^2) , temos:
raiza cdot b = raiza cdot raizb
Sabemos que raize^2 t cdot raiz1 + t^2 , já que $ e^{t} $ é sempre positivo. Então, a expressão fica:
raize^2 t = e^t

Passo 3

Agora, vamos comparar isso com o lado direito da equação:
e^t + t e^t = e^t (1 + t)
Então, nossa comparação é entre:
e^t cdot raiz1 + t^2 e e^t (1 + t)
Para a equação ser verdadeira em geral, precisaríamos que:
raiz1 + t^2 = 1 + t

Passo 4

Vamos verificar se raiz1 + t^2 = 1 + t é verdadeira para todos os $ t $. Vamos resolver essa igualdade:
t
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
raiz1 + t^2 = 1 + t
Desenvolvendo o lado direito:
1 + t^2 = (1 + t)^2
Subtraindo 1 + t^2 = 1 + 2t + t^2 de ambos os lados:
1 + t^2
Então, temos:
0 = 2t

Passo 5

Isso significa que a igualdade raiz1 + t^2 = 1 + t só é verdadeira quando $ t = 0 $. Para outros valores de $ t $, essa igualdade não se mantém. Portanto, a equação inicial só é verdadeira para $ t = 0 $.

Passo 6

Vamos confirmar com um exemplo numérico. Suponha que $ t = 1 $:
Lado esquerdo:
t = 1
Lado direito:
raize^2 cdot 1 + 1^2 e^2 cdot 1 = raize^2 + e^2 = raiz2 e^2 = e raiz2 approx 2,718 cdot 1,414 approx 3,843
Claramente, $ 3,843 \neq 5,436 $, então a equação não é verdadeira para $ t = 1 $.

Resposta

A equação raize^2 t + t^2 e^2 t = e^t + t e^t é falsa em geral. Ela só é verdadeira quando $ t = 0 $.

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