Diga se os seguintes cálculos são verdadeiros ou falsos, em geral. Dar exemplos numéricos para justificar.
Passo 1
Beleza, vamos analisar essa equação que a gente precisa dizer se é verdadeira ou falsa em geral. A equação é:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e operações de raiz quadrada. Para resolver, vamos simplificar o lado esquerdo e ver se ele realmente é igual ao lado direito para todos os valores de $ t $. Se encontrarmos algum valor de $ t $ que torne a equação falsa, então ela não é verdadeira em geral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Perceba que podemos fatorar $ e^{2 t} $ de dentro da raiz:
Agora, usando a propriedade das raízes
, temos:
Sabemos que
, já que $ e^{t} $ é sempre positivo. Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos comparar isso com o lado direito da equação:
Então, nossa comparação é entre:
Para a equação ser verdadeira em geral, precisaríamos que:
Passo 4
Vamos verificar se
é verdadeira para todos os $ t $. Vamos resolver essa igualdade:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Desenvolvendo o lado direito:
Subtraindo
de ambos os lados:
Então, temos:
Passo 5
Isso significa que a igualdade
só é verdadeira quando $ t = 0 $. Para outros valores de $ t $, essa igualdade não se mantém. Portanto, a equação inicial só é verdadeira para $ t = 0 $.
Passo 6
Vamos confirmar com um exemplo numérico. Suponha que $ t = 1 $:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Claramente, $ 3,843 \neq 5,436 $, então a equação não é verdadeira para $ t = 1 $.
Resposta
A equação
é falsa em geral. Ela só é verdadeira quando $ t = 0 $.