Diga se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis e por quê.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = -2 & 0 & 0 3 & 2 & 1 0 & 0 & -2
e pede para decidir se ela é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes quadradas. Para resolver, vamos encontrar os autovalores de A, calcular suas multiplicidades algébrica e geométrica e verificar se existem três autovetores independentes que formem base de R^3.
Passo 2
Cálculo do polinômio característico. Para
A - lambda I = -2-lambda & 0 & 0 3 & 2-lambda & 1 0 & 0 & -2-lambda
ficando x2 livre. Assim dim E2=1, igual à multiplicidade algébrica de 2.
Passo 5
Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica e
dim E-2 + dim E2 = 2 + 1 = 3,
existem três autovetores independentes. Portanto A é diagonalizável.
Resposta
A matriz é diagonalizável, pois a soma das dimensões dos espaços próprios é 3, igual à ordem da matriz, e em cada caso a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica.