Diga se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis e por quê.
(ccc-2 & 0 & 0 3 & 2 & 1 0 & 0 & -2)

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = -2 & 0 & 0 3 & 2 & 1 0 & 0 & -2
e pede para decidir se ela é diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes quadradas. Para resolver, vamos encontrar os autovalores de A, calcular suas multiplicidades algébrica e geométrica e verificar se existem três autovetores independentes que formem base de R^3.

Passo 2

Cálculo do polinômio característico. Para
A - lambda I = -2-lambda & 0 & 0 3 & 2-lambda & 1 0 & 0 & -2-lambda
temos
det(A - lambda I) = (-2-lambda)det2-lambda & 10 & -2-lambda =(-2-lambda)^2,(2-lambda)
Logo os autovalores são
lambda1=-2 com multiplicidade algébrica 2
e lambda2=2 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Espaço próprio de lambda=-2. Resolvendo (A+2I)x=0:
A+2I = 0 & 0 & 0 3 & 4 & 1 0 & 0 & 0 Longrightarrow 3x1 + 4x2 + x3 = 0
Podemos escolher x2=s, x3=t livres e obter
x1 = -tfrac4s+t3
Isso dá dim E-2=2, igual à multiplicidade algébrica de -2.

Passo 4

Espaço próprio de lambda=2. Resolvendo (A-2I)x=0:
A-2I = -4 & 0 & 0 3 & 0 & 1 0 & 0 & -4 Longrightarrow x1=0,;x3=0,
ficando x2 livre. Assim dim E2=1, igual à multiplicidade algébrica de 2.

Passo 5

Como para cada autovalor a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica e
dim E-2 + dim E2 = 2 + 1 = 3,
existem três autovetores independentes. Portanto A é diagonalizável.

Resposta

A matriz é diagonalizável, pois a soma das dimensões dos espaços próprios é 3, igual à ordem da matriz, e em cada caso a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica.

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