Obtenha:
A disfância entre o ponto P=(2,3,-1) à reta
r:l 2 x+2 y+z+3=0 3 x-2 y+2 z+17=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto P = (2, 3, -1) e uma reta r que é definida pelo sistema de equações:
r:l 2 x + 2 y + z + 3 = 0 3 x - 2 y + 2 z + 17 = 0
Pra resolver isso, vamos precisar usar um pouco de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um vetor diretor para a reta r . Como r é a interseção de dois planos, o vetor diretor será perpendicular aos vetores normais desses planos. Vamos identificar os vetores normais:
  • Para o primeiro plano 2x + 2y + z + 3 = 0 , o vetor normal é n1 = (2, 2, 1) .
  • Para o segundo plano 3x - 2y + 2z + 17 = 0 , o vetor normal é n2 = (3, -2, 2) .

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor diretor d da reta r , vamos calcular o produto vetorial desses vetores normais:
d = n1 times n2 = i & j & k 2 & 2 & 1 3 & -2 & 2
Calculando o determinante:
d = i(2 cdot 2 - 1 cdot (-2)) - j(2 cdot 2 - 1 cdot 3) + k(2 cdot (-2) - 2 cdot 3)
d = i(4 + 2) - j(4 - 3) + k(-4 - 6)
d = i(6) - j(1) + k(-10)
d = (6, -1, -10)

Passo 4

Vamos agora encontrar um ponto qualquer que esteja na reta r . Para isso, podemos atribuir um valor a uma das variáveis e resolver o sistema.
Vamos supor z = 0 .
Substituindo z = 0 nas equações:
2x + 2y + 0 + 3 = 0 Rightarrow 2x + 2y = -3 Rightarrow x + y = -32
3x - 2y + 0 + 17 = 0 Rightarrow 3x - 2y = -17
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação, y = -32 - x .
Substituindo na segunda:
3x - 2(-32 - x) = -17
3x + 3 + 2x = -17
5x = -20 Rightarrow x = -4
y = -32 - (-4) = -32 + 4 = 52
Portanto, um ponto na reta r é Q = (-4, 52, 0) .

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da distância entre um ponto P e uma reta que passa por um ponto Q e tem o vetor diretor d :
d = |d times (P - Q)||d|
Primeiro, calculamos P - Q :
P - Q = (2 - (-4), 3 - 52, -1 - 0) = (6, 12, -1)
Agora, calculamos o produto vetorial d times (P - Q) :
d = (6, -1, -10)
P - Q = (6, 12, -1)
d times (P - Q) = i & j & k 6 & -1 & -10 6 & 12 & -1
= i((-1)(-1) - (-10)(12)) - j(6(-1) - (-10)(6)) + k(6 cdot 12 - (-1)(6))
= i(1 + 5) - j(-6 + 60) + k(3 + 6)
= i(6) - j(54) + k(9)
= (6, -54, 9)
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
|d times (P - Q)| = raiz6^2 + (-54)^2 + 9^2 = raiz36 + 2916 + 81 = raiz3033
E o módulo de d :
|d| = raiz6^2 + (-1)^2 + (-10)^2 = raiz36 + 1 + 100 = raiz137

Resposta

Portanto, a distância entre o ponto P = (2, 3, -1) e a reta r é:
d = raiz3033raiz137 = raiz3033137 approx raiz22.13 approx 4.70
Assim, a distância é aproximadamente 4,70 unidades.

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