Diga se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis e por quê.
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
A = 7 & 0 6 & 7
e pergunta se ela é diagonalizável. Para resolver isso, vamos usar o fato de que uma matriz ntimes n é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos seus espaços próprios for n. Precisamos, portanto, calcular os autovalores (multiplicidade algébrica) e os autovetores (multiplicidade geométrica) de A.
Agora determinamos o espaço próprio associado a resolvendo .
Dessa equação obtemos
enquanto fica livre. Portanto os vetores próprios são da forma , e o espaço próprio tem dimensão . A multiplicidade geométrica de é .
Passo 4
Como a multiplicidade geométrica de lambda=7 (que é 1) é menor que a sua multiplicidade algébrica (que é 2), não existe base de R^2 formada por autovetores de A.
Resposta
A matriz não é diagonalizável, pois o autovalor lambda=7 tem multiplicidade geométrica menor que a algébrica.