Diga se as seguintes matrizes são ou não diagonalizáveis e por quê.
(ll7 & 0 6 & 7)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 7 & 0 6 & 7
e pergunta se ela é diagonalizável. Para resolver isso, vamos usar o fato de que uma matriz ntimes n é diagonalizável se, e somente se, a soma das dimensões dos seus espaços próprios for n. Precisamos, portanto, calcular os autovalores (multiplicidade algébrica) e os autovetores (multiplicidade geométrica) de A.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A - lambda I) = det!7-lambda & 0 6 & 7-lambda = (7-lambda)^2
Logo, o único autovalor é
lambda = 7
com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 3

Agora determinamos o espaço próprio associado a resolvendo .
Dessa equação obtemos
enquanto fica livre. Portanto os vetores próprios são da forma , e o espaço próprio tem dimensão . A multiplicidade geométrica de é .

Passo 4

Como a multiplicidade geométrica de lambda=7 (que é 1) é menor que a sua multiplicidade algébrica (que é 2), não existe base de R^2 formada por autovetores de A.

Resposta

A matriz não é diagonalizável, pois o autovalor lambda=7 tem multiplicidade geométrica menor que a algébrica.

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