(3,0 pt) Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
(c) sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série
sumn=1^infty (-1)^n-134n
O conteúdo principal é o critério de Leibniz (séries alternadas). Para aplicar esse critério, definimos
bn = 34n,
de modo que o termo geral da série seja (-1)^n-1bn.

Passo 2

Verificamos que bn>0 para todo n e que a sequência bn é decrescente, pois
bn+1 = 34(n+1) < 34n = bn

Passo 3

Calculamos o limite de bn quando ntoinfty:
limntoinfty bn = limntoinfty 34n = 0

Passo 4

Como bn é positiva, decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz a série
sumn=1^infty (-1)^n-1bn
converge.

Passo 5

Para saber se existe convergência absoluta, analisamos
sumn=1^infty |(-1)^n-1bn| = sumn=1^infty bn = sumn=1^infty 34n,
que é tfrac34 vezes a série harmônica e, portanto, diverge. Logo, a convergência é apenas condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente (pelo critério de Leibniz) e não converge absolutamente.

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