(1,0 pt) Use o Teste da Integral para mostrar que a série sumn=1^infty 1n^5 é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Integral para mostrar que a série
sumn=1^infty 1n^5
é convergente. O conteúdo da matéria é o Critério da Integral (ou Teste da Integral) para séries de termos positivos. Para aplicá-lo, vamos precisar de uma função contínua, positiva e decrescente cujo valor em inteiros seja exatamente 1/n^5.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 1x^5, x>=1
Observamos que para x>=1:
f(x)>0,
f é contínua,
f é decrescente, pois
f'(x) = -5,x^-6<0
Como f(n)=1/n^5, podemos comparar a série dada com a integral imprópria de f.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
integral1^infty 1x^5,dx =limRtoinftyintegral1^R x^-5,dx =limRtoinftyl[x^-4-4r]1^R =limRtoinftyl(-14R^4+14r) =14
Como esse valor é finito, a integral converge.

Passo 4

Pelo Teste da Integral, se
integral1^infty f(x),dx
converge, então a série
sumn=1^infty f(n)
também converge. Aqui f(n)=1/n^5, logo concluímos que
sumn=1^infty1/n^5 é convergente.

Resposta

A série sumn=1^infty1n^5 é convergente pelo Teste da Integral.

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