Use o Teste da Integral para mostrar que a série
é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teste da Integral para mostrar que a série
é convergente. O conteúdo da matéria é o Critério da Integral (ou Teste da Integral) para séries de termos positivos. Para aplicá-lo, vamos precisar de uma função contínua, positiva e decrescente cujo valor em inteiros seja exatamente
.
Passo 2
Definimos a função
Observamos que para
:
– ,
– é contínua,
– é decrescente, pois
–
–
–
Como
, podemos comparar a série dada com a integral imprópria de
.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Como esse valor é finito, a integral converge.
Passo 4
Pelo Teste da Integral, se
converge, então a série
também converge. Aqui
, logo concluímos que
é convergente.
Resposta
A série
é convergente pelo Teste da Integral.