Seja R a região limitada delimitada pelos gráficos das funções y=sen(pi x) e y=x^2-x com x in[0,1].
Faça um esboço de R e expresse a área de R em termos de uma integral.

Passo 1

O enunciado pede a região R limitada pelos gráficos de
y = sen(pi x)
e
y = x^2 - x
para xin[0,1]. Vamos esboçar essas duas curvas no mesmo sistema de eixos, determinar onde elas se interceptam e ver qual delas fica “por cima” no intervalo, para então escrever a área de R como uma integral de diferença de funções.

Passo 2

Determine os pontos de interseção resolvendo
sen(pi x) = x^2 - x
Observamos imediatamente que em x=0 e em x=1 ambas valem zero, e não há outras soluções em (0,1). Logo, as curvas se encontram apenas em
x=0e x=1

Passo 3

Compare os valores das funções para xin(0,1):
sen(pi x) é não negativa (atinge máximo 1 em x=tfrac12).
x^2-x é não positiva (atinge mínimo -tfrac14 em x=tfrac12).
Portanto, para xin(0,1) a curva y=sen(pi x) está acima de y=x^2-x.

Passo 4

Esboço de R:
– A curva y=sen(pi x) forma um arco que sai de (0,0), sobe até (tfrac12,1) e volta a (1,0).
– A parábola y=x^2-x sai de (0,0), desce até (tfrac12,-tfrac14) e retorna a (1,0).
A região R é o “casquete” entre essas duas curvas de x=0 a x=1.

Passo 5

Como a função superior é sen(pi x) e a inferior é x^2-x, a área de R vem de
Área(R) =integral0^1l[sen(pi x);-;(x^2-x)r];dx Á

Resposta

Área(R) =integral0^1l[sen(pi x);-;(x^2-x)r],dx Á

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