Seja
a região limitada delimitada pelos gráficos das funções
e
com
.
Faça um esboço de
e expresse a área de
em termos de uma integral.
Faça um esboço de
Passo 1
O enunciado pede a região
limitada pelos gráficos de
e
para
. Vamos esboçar essas duas curvas no mesmo sistema de eixos, determinar onde elas se interceptam e ver qual delas fica “por cima” no intervalo, para então escrever a área de
como uma integral de diferença de funções.
Passo 2
Determine os pontos de interseção resolvendo
Observamos imediatamente que em
e em
ambas valem zero, e não há outras soluções em
. Logo, as curvas se encontram apenas em
Passo 3
Compare os valores das funções para
:
– é não negativa (atinge máximo 1 em
).
– é não positiva (atinge mínimo
em
).
Portanto, para a curva
está acima de
.
–
–
Portanto, para
Passo 4
Esboço de
:
– A curva forma um arco que sai de
, sobe até
e volta a
.
– A parábola sai de
, desce até
e retorna a
.
A região é o “casquete” entre essas duas curvas de
a
.
– A curva
– A parábola
A região
Passo 5
Como a função superior é
e a inferior é
, a área de
vem de