Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
(c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente dizer se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries alternadas e testes de convergência. Precisamos lembrar do Teste da Série Alternada e também verificar a convergência absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada porque os termos mudam de sinal devido ao . Séries alternadas têm uma forma do tipo , onde é positivo.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Série Alternada, que nos diz que uma série alternada converge se:
Os termos diminuem em valor absoluto.
O limite de quando vai para o infinito é zero.
No nosso caso, . Vamos verificar:
, então os termos realmente diminuem.
.
Como os dois critérios são atendidos, a série converge segundo o Teste da Série Alternada.
Passo 4
Também é interessante verificar a convergência absoluta, que é quando a série dos valores absolutos converge. Isso dá sumn=1^infty 34n, que é uma múltipla da série harmônica sumn=1^infty 1n. Sabemos que a série harmônica diverge, então a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.
Resposta
A série sumn=1^infty (-1)^n-1 34 nconverge condicionalmente.