Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceção do item c)). Se divergir, justifique:
(c) sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente dizer se a série sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é sobre séries alternadas e testes de convergência. Precisamos lembrar do Teste da Série Alternada e também verificar a convergência absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa série é uma série alternada porque os termos mudam de sinal devido ao (-1)^n-1. Séries alternadas têm uma forma do tipo sumn=1^infty (-1)^n-1 an, onde an é positivo.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Série Alternada, que nos diz que uma série alternada converge se:
  1. Os termos an diminuem em valor absoluto.
  2. O limite de an quando n vai para o infinito é zero.
No nosso caso, an = 34n. Vamos verificar:
  1. 34(n+1) < 34n, então os termos realmente diminuem.
  2. limn to infty 34n = 0.
Como os dois critérios são atendidos, a série converge segundo o Teste da Série Alternada.

Passo 4

Também é interessante verificar a convergência absoluta, que é quando a série dos valores absolutos sumn=1^infty | (-1)^n-1 34 n | converge. Isso dá sumn=1^infty 34n, que é uma múltipla da série harmônica sumn=1^infty 1n. Sabemos que a série harmônica diverge, então a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n converge condicionalmente.

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