Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceçâo do item c)). Se divergir, justifique:
© sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar: sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n. O tema aqui é convergência de séries, e vamos precisar entender como séries alternadas funcionam e quais testes podemos usar pra saber se elas somam a um valor finito ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo dessa série. Note que ela tem o termo (-1)^n-1, o que a torna uma série alternada. Isso significa que os sinais dos termos vão mudando de positivo para negativo e assim por diante.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an diminuem continuamente: an+1 <= an.
  2. O limite dos termos tende a zero: limn to infty an = 0.

Passo 4

Vamos verificar essas condições:
  1. Decrecente: Olhando para an = 34n, conforme n aumenta, an diminui porque o denominador cresce.
  2. Limite zero: limn to infty 34n = 0.
Como as duas condições estão satisfeitas, a série converge.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela. Observamos que podemos fatorar a constante 34:
sumn=1^infty (-1)^n-1 34 n = 34 sumn=1^infty (-1)^n-1n
A série sumn=1^infty (-1)^n-1n é conhecida como a Série Alternada Harmônica, e sua soma é ln(2). Portanto:
34 times ln(2) = 34 ln(2)

Resposta

A série converge e sua soma é 34 ln(2).

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