Diga se a série converge ou diverge. Se convergir, calcule sua soma (com exceçâo do item c)). Se divergir, justifique:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita pra analisar:
. O tema aqui é convergência de séries, e vamos precisar entender como séries alternadas funcionam e quais testes podemos usar pra saber se elas somam a um valor finito ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo dessa série. Note que ela tem o termo
, o que a torna uma série alternada. Isso significa que os sinais dos termos vão mudando de positivo para negativo e assim por diante.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
diminuem continuamente: . - O limite dos termos tende a zero:
.
Passo 4
Vamos verificar essas condições:
- Decrecente: Olhando para
, conforme aumenta, diminui porque o denominador cresce. - Limite zero:
.
Como as duas condições estão satisfeitas, a série converge.
Passo 5
Agora que sabemos que a série converge, podemos calcular a soma dela. Observamos que podemos fatorar a constante
:
A série
é conhecida como a Série Alternada Harmônica, e sua soma é
. Portanto:
Resposta
A série converge e sua soma é
.