Diga se as séries indicadas convergem ou não, justificando sua resposta:
sn=sum 10raizn^5+6

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty 10raizn^5+6 converge ou diverge. O conteúdo principal é teste de convergência de séries pela comparação com p-séries, e vamos precisar usar o teste da p-série ou o teste de comparação limite.

Passo 2

Para valores grandes de n temos n^5+6sim n^5. Logo
raizn^5+6sim n^5/2,
e o termo geral da série se comporta como
an=10raizn^5+6sim 10n^5/2=bn

Passo 3

Sabemos que a p-série sum bn=sum 10n^5/2 converge, pois p=5/2>1.

Passo 4

Para confirmar rigorosamente, aplicamos o teste de comparação limite:
limntoinftyanbn=limntoinfty10/raizn^5+610/n^5/2=limntoinftyn^5/2raizn^5+6=1

Passo 5

Como esse limite é finito e não nulo, a série sum an tem o mesmo comportamento de sum bn.

Resposta

A série sumn=1^infty 10raizn^5+6 converge, pois é comparável a uma p-série com p=5/2>1.

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