Usando o teorema de Green, calcule o valor das integrais
seguindo o sentido anti-horário em torno da curva de contorno da região , onde
(0,1),(3,1),(3,2),(0,2) é o retângulo de vértices

Passo 1

Resumindo o enunciado e o que vamos precisar: vamos aplicar o Teorema de Green para calcular a integral de linha ointC P,dx + Q,dy, com P(x,y)=xln y e Q(x,y)=y e^x, ao redor do retângulo R de vértices (0,1), (3,1), (3,2) e (0,2). Precisamos usar derivadas parciais e depois uma integral dupla.

Passo 2

O Teorema de Green diz que:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr) dA

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de P e Q, obtemos:
partial Qpartial x = y e^x e partial Ppartial y = xy.

Passo 4

Montamos a integral dupla conforme o retângulo R:
integral duplaR l(y e^x - xyr) ,dA = integralx=0^3 integraly=1^2 l(y e^x - xyr) dy,dx

Passo 5

Separamos em duas integrais: I1 = integral0^3 integral1^2 y e^x ,dy,dx e I2 = integral0^3 integral1^2 xy ,dy,dx. Para I1:
I1 = integral0^3 e^x l(integral1^2 y ,dyr) dx = integral0^3 e^x 32 ,dx = 32(e^3 - 1)

Passo 6

Para I2:
I2 = integral0^3 x l(integral1^2 1y ,dyr) dx = integral0^3 x ln 2 ,dx = ln 2 integral0^3 x ,dx = 92 ln 2

Passo 7

Combinando as duas partes, a integral de linha vale I1 - I2, cuja expressão final está abaixo no campo de resposta.

Resposta

32(e^3 - 1) - 92 ln 2

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