Diga se os sistemas abaixo tem única, infinitas ou nenhuma solução analizando os postos de suas matrizes. Então resolva-os, se for o caso.
(a)
Passo 1
O enunciado pede para a gente classificar o sistema
2x - y + z = 0, 2y + z = 1, x + y + 2z = 3
pela teoria de posto de matrizes (se tem solução única, nenhuma ou infinitas) e, se houver solução, encontrar os valores de x,y,z. O conteúdo aqui é álgebra linear: calculamos o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz aumentada para decidir a existência e a unicidade, e depois resolvemos por substituição (ou Cramer) quando for o caso.
Passo 2
Vamos montar a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [Amid b]:
Para decidir o posto, basta ver se det(A)neq0: se for não nulo, então rank(A)=3 e como a matriz aumentada não pode ter posto maior que 3, teremos rank(A)=rank([Amid b])=3.
Como det(A)neq0, temos rank(A)=3 e então também rank([Amid b])=3. O sistema é 3times 3 e o posto é igual ao número de incógnitas, logo existe uma única solução.
Passo 5
Para encontrar essa solução, uso eliminação/substituição. Da segunda equação
2y+z=1 Longrightarrow z=1-2y
Substituo em (1) e em (3):
(1) 2x - y + (1-2y)=0 dá
2x -3y +1=0 Longrightarrow x=3y-12
(3) x + y +2(1-2y)=3 dá
x + y +2 -4y=3 Longrightarrow x -3y =1 Longrightarrow x=3y+1