Diga se os sistemas abaixo tem única, infinitas ou nenhuma solução analizando os postos de suas matrizes. Então resolva-os, se for o caso.
(a) 2 x-y+z & =0 2 y+z & =1 x+y+2 z & =3

Passo 1

O enunciado pede para a gente classificar o sistema
2x - y + z = 0, 2y + z = 1, x + y + 2z = 3
pela teoria de posto de matrizes (se tem solução única, nenhuma ou infinitas) e, se houver solução, encontrar os valores de x,y,z. O conteúdo aqui é álgebra linear: calculamos o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz aumentada para decidir a existência e a unicidade, e depois resolvemos por substituição (ou Cramer) quando for o caso.

Passo 2

Vamos montar a matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [Amid b]:
A = 2 & -1 & 1 0 & 2 & 1 1 & 1 & 2 , [Amid b] = 2 & -1 & 1 & 0 0 & 2 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 3
Para decidir o posto, basta ver se det(A)neq0: se for não nulo, então rank(A)=3 e como a matriz aumentada não pode ter posto maior que 3, teremos rank(A)=rank([Amid b])=3.

Passo 3

Calculando o determinante de A:
det(A) =22 & 11 & 2 -(-1)0 & 11 & 2 +10 & 21 & 1
Cada “ cdots” é um 2times2:
2 & 11 & 2=2cdot2-1cdot1=3, 0 & 11 & 2=0cdot2-1cdot1=-1, 0 & 21 & 1=0cdot1-2cdot1=-2
Logo
det(A)=2cdot3 -(-1)cdot(-1) +1cdot(-2) =6 -1 -2 =3neq0
Portanto rank(A)=3.

Passo 4

Como det(A)neq0, temos rank(A)=3 e então também rank([Amid b])=3. O sistema é 3times 3 e o posto é igual ao número de incógnitas, logo existe uma única solução.

Passo 5

Para encontrar essa solução, uso eliminação/substituição. Da segunda equação
2y+z=1 Longrightarrow z=1-2y
Substituo em ( 1) e em ( 3):
( 1) 2x - y + (1-2y)=0
2x -3y +1=0 Longrightarrow x=3y-12
( 3) x + y +2(1-2y)=3
x + y +2 -4y=3 Longrightarrow x -3y =1 Longrightarrow x=3y+1
Igualando as duas expressões para x:
3y-12=3y+1 Longrightarrow 3y-1=6y+2 Longrightarrow -3=3y Longrightarrow y=-1
Então
x=3(-1)+1=-2, z=1-2(-1)=3

Resposta

O sistema tem única solução:
(x,y,z)=(-2,,-1,,3)

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