Diga se os sistemas abaixo tem única, infinitas ou nenhuma solução analizando os postos de suas matrizes. Então resolva-os, se for o caso.
(g) r-2 x+y+z=1 x-2 y+z=1 x+y-2 z=1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o sistema
-2x + y + z = 1, x - 2y + z = 1, x + y - 2z = 1
é compatível com única solução, infinitas soluções ou é incompatível, usando o posto da matriz dos coeficientes. Vamos aplicar o Teorema de Rouché–Capelli, que compara o posto da matriz dos coeficientes A com o posto da matriz aumentada (A|b).

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes e o vetor dos termos independentes:
A = -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 , b = 111

Passo 3

Note que a soma das três linhas de A dá o vetor nulo:
(-2+1+1,;1-2+1,;1+1-2) = (0,0,0)
Isto mostra que as linhas de A são linearmente dependentes, logo posto(A)<3. Como podemos verificar que há pelo menos duas linhas independentes (por exemplo, linha 1 e linha 2 não são múltiplas uma da outra), segue que
posto(A) = 2

Passo 4

Agora somamos as três equações do sistema:
(-2x+y+z) + (x-2y+z) + (x+y-2z) = 1 + 1 + 1,
o que dá
0x + 0y + 0z = 3,
uma contradição ,0=3. Isso significa que a matriz aumentada (A|b) tem posto maior que o de A, ou seja,
posto(A|b) = 3 > posto(A)
Pelo Teorema de Rouché–Capelli, o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema não tem solução (incompatível).

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