Diga se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
a) , então ;
b) Se , então ;
c) Se , então ;
d) , então ;
e) Se , então A B C D (vértices nesta ordem é um paralelogramo;
f) |5 v|=|-5 v|=5|v|
g) Os vetores 3 v e -4 v são paralelos e de mesmo sentido;
h) Se u / / v,|u|=2 e |v|=4, então v=2 u ou v=-2 u;
i) Se |v|=3, o versor de -10|v| é -v / 3;
Passo 1
O enunciado lista nove afirmações sobre vetores e pede para decidir se cada uma é verdadeira ou falsa. Vamos usar os seguintes conceitos:
– Dois vetores são iguais quando têm mesmas componentes.
– A norma obedece ;|lambda vec v|=|lambda|;|vec v|.
– vec uparal<=lvec v significa que existe escalar k com vec u=k,vec v.
– Um quadrilátero é paralelogramo se um par de lados opostos é igual e paralelo.
– O versor (vetor unitário) de vec w é vec wlvertvec wrvert.
Passo 2
Analisando (a) e (b):
(a) Se vec u=vec v, então eles têm mesmas componentes, logo também têm mesmas normas, isto é, lvertvec urvert=lvertvec vrvert. Portanto (a) é verdadeira.
(b) A igualdade de normas só garante lvertvec urvert=lvertvec vrvert, mas vetores podem ter mesma norma e direções diferentes (por exemplo (1,0) e (-1,0)). Logo (b) é falsa.
Passo 3
Analisando (c) e (d):
(c) vec uparal<=lvec v significa vec u=k,vec v para algum k, mas não exige k=1, então geralmente vec uneq vec v. Logo (c) é falsa.
(d) Se vec u=vec v, imediatamente vec uparal<=lvec v (qualquer vetor é paralelo a si mesmo). Portanto (d) é verdadeira.
Passo 4
Analisando (e): AB=DC implica que o segmento AB é igual, em direção e comprimento, ao segmento DC. Isso fornece um par de lados opostos iguais e paralelos, condição suficiente para que ABCD seja paralelogramo. Logo (e) é verdadeira.
Passo 5
Analisando (f) e (g):
(f) Usando lvertlambdavec vrvert=|lambda|,lvertvec vrvert, obtemos
|5vec v|=5|vec v|, |-5vec v|=5|vec v|,
portanto (f) é verdadeira.
(g) 3vec v e -4vec v são paralelos, mas têm sentidos contrários (o fator -4 inverte a direção). Logo não têm o mesmo sentido, e (g) é falsa.
Passo 6
Analisando (h): vec uparal<=lvec v implica vec v=k,vec u. Tomando norma,