Um vetor v forma com os vetores i e j ângulos de 60^circ e 120^circ, respectivamente. Determinar o vetor v, sabendo que |v|=2.

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec v de módulo 2 que faz ângulo de 60^circ com vec i e de 120^circ com vec j. O conteúdo aqui é o uso de produtos escalares para achar as componentes de vec v (cossenos diretores) e, se necessário, a relação
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1
num espaço tridimensional.

Passo 2

Usamos vec vcdot vec i = |vec v|,|vec i|cos 60^circ. Como |vec v|=2 e |vec i|=1,
vx = vec vcdot vec i = 2cdot1cdotcos 60^circ = 2cdot12 = 1

Passo 3

De modo análogo,
vec vcdot vec j = |vec v|,|vec j|cos 120^circ
vy = vec vcdot vec j = 2cdot1cdotcos 120^circ = 2cdotl(-tfrac12r) = -1

Passo 4

Se vec v fosse no plano xy, teríamos |vec v|^2 = vx^2+vy^2 = 1^2+(-1)^2 = 2neq 4, contradizendo |vec v|=2. Logo vec v não está restrito ao plano e pertence a R^3, tendo também componente vz.

Passo 5

Em R^3, os cossenos diretores satisfazem
cos^2alpha + cos^2beta + cos^2gamma = 1,
onde alpha=60^circ, beta=120^circ. Então
cos^2gamma = 1 - cos^2 60^circ - cos^2 120^circ = 1 - l(tfrac12r)^2 - l(-tfrac12r)^2 = 1 - tfrac14 - tfrac14 = tfrac12
Portanto cosgamma = pmraiztfrac12 = pmtfracraiz22. Logo
vz = |vec v|cosgamma = 2cdotl(pmtfracraiz22r) = pmraiz2

Passo 6

Reunindo as três componentes em vec i,vec j,vec k, temos as duas possíveis soluções
vec v = 1,vec i + (-1),vec j + (pmraiz2),vec k Longrightarrow vec v = vec i - vec j pm raiz2,vec k

Resposta

v = i - j + raiz2,k\quad ou\quad v = i - j - raiz2,k.

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