Identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico.
x^{2}-6 x y-7 y^{2}+10 x+2 y+9=0;

Passo 1

O enunciado pede para identificarmos a cônica dada por
x^{2}-6xy-7y^{2}+10x+2y+9=0,
encontrar sua forma reduzida no sistema de eixos principais (ou seja, após rotação e translação) e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar (1) o discriminante para classificar a cônica, (2) rotação para eliminar o termo misto xy e (3) translação para completar quadrados.

Passo 2

Identificação pelo discriminante
\Delta = B^{2}-4AC =(-6)^{2}-4\cdot1\cdot(-7)=36+28=64>0.
Como \Delta>0, trata-se de uma hipérbole.

Passo 3

Eliminação do termo misto via diagonalização do formulário quadrático
A parte quadrática é
Q(x,y)=x^{2}-6xy-7y^{2}.
A matriz associada é
M=\begin{pmatrix}1 & -3\\\ -3 & -7\end{pmatrix}.
Seus autovalores vêm de
\det(M-\lambda I)=\lambda^{2}+6\lambda-16=0 \;\Longrightarrow\; \lambda_{1}=2,\;\lambda_{2}=-8.
Os autovetores são, por exemplo,
\lambda_{1}=2\colon\;e_{1}=(-3,1), \qquad \lambda_{2}=-8\colon\;e_{2}=(1,3).
Definimos, então, a mudança de variáveis para os eixos principais
\begin{cases} x = -3u + v,\\\ y = \;u + 3v. \end{cases}

Passo 4

Expressão completa em (u,v)
Na nova base a parte quadrática vira
2\,u^{2}-8\,v^{2},
e os termos lineares tornam-se
10x+2y=10(-3u+v)+2(u+3v)=-28u+16v.
Logo a equação completa é
2u^{2}-8v^{2}-28u+16v+9=0.

Passo 5

Translação e forma canônica
Agrupando e completando quadrados:
2\bigl(u^{2}-14u\bigr)-8\bigl(v^{2}-2v\bigr)+9=0 \;\Longrightarrow\; 2\bigl[(u-7)^{2}-49\bigr]-8\bigl[(v-1)^{2}-1\bigr]+9=0
\Longrightarrow\; 2(u-7)^{2}-8(v-1)^{2}-81=0 \;\Longrightarrow\; \frac{(u-7)^{2}}{81/2}-\frac{(v-1)^{2}}{81/8}=1.

Passo 6

Características da hipérbole e esboço
É uma hipérbole centrada em (u,v)=(7,1), com semi-eixo real
a=\sqrt{\tfrac{81}{2}}=\frac{9}{\sqrt2},
e semi-eixo imaginário
b=\sqrt{\tfrac{81}{8}}=\frac{9}{2\sqrt2}.
Vértices em \bigl(7\pm\tfrac{9}{\sqrt2},\,1\bigr)
e assíntotas
v-1=\pm\frac{b}{a}(u-7) =\pm\frac12\,(u-7).
No esboço em (u,v) traçamos a hipérbole abrindo para a direita e esquerda ao longo do eixo u. Para voltar ao plano original (x,y) basta aplicar a rotação inversa dada por
x=-3u+v,\quad y=u+3v.

Resposta

É uma hipérbole.
No sistema principal (u,v) definido por \;x=-3u+v,\;y=u+3v,
a forma reduzida é
\frac{(u-7)^{2}}{81/2}-\frac{(v-1)^{2}}{81/8}=1.
O esboço é uma hipérbole centrada em (7,1) em (u,v), com vértices \bigl(7\pm9/\sqrt2,1\bigr) e assíntotas v-1=\pm\frac12(u-7).

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