Identifique a cônica, ache a equação no último sistema de coordenadas utilizado e faça um esboço do gráfico.
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Passo 1
O enunciado pede para identificarmos a cônica dada por
encontrar sua forma reduzida no sistema de eixos principais (ou seja, após rotação e translação) e fazer um esboço do gráfico. Vamos usar (1) o discriminante para classificar a cônica, (2) rotação para eliminar o termo misto
e (3) translação para completar quadrados.
Passo 2
Identificação pelo discriminante
Como
, trata-se de uma hipérbole.
Passo 3
Eliminação do termo misto via diagonalização do formulário quadrático
A parte quadrática é
A parte quadrática é
A matriz associada é
Seus autovalores vêm de
Os autovetores são, por exemplo,
Definimos, então, a mudança de variáveis para os eixos principais
Passo 4
Expressão completa em
Na nova base a parte quadrática vira
Na nova base a parte quadrática vira
e os termos lineares tornam-se
Logo a equação completa é
Passo 5
Translação e forma canônica
Agrupando e completando quadrados:
Agrupando e completando quadrados:
Passo 6
Características da hipérbole e esboço
É uma hipérbole centrada em , com semi-eixo real
É uma hipérbole centrada em
e semi-eixo imaginário
Vértices em
e assíntotas
e assíntotas
No esboço em
traçamos a hipérbole abrindo para a direita e esquerda ao longo do eixo
. Para voltar ao plano original
basta aplicar a rotação inversa dada por
Resposta
É uma hipérbole.
No sistema principal definido por
,
a forma reduzida é
No sistema principal
a forma reduzida é
O esboço é uma hipérbole centrada em
em
, com vértices
e assíntotas
.