Encontre uma base para o espacio solução do sistema homogêneo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma base para o espaço solução do sistema homogêneo que tem a equação . Isso pertence ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como expressar as soluções desse sistema de forma vetorial e identificar vetores que formem uma base para esse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada: . Como é um sistema homogêneo (igual a zero), sabemos que sempre tem pelo menos a solução trivial, onde todas as variáveis são zero. Mas queremos encontrar todas as soluções possíveis.
Passo 3
Vamos resolver essa equação para uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, podemos resolver para :
Dividindo ambos os lados por 3:
Passo 4
Agora, vamos expressar as soluções em termos de um parâmetro livre. Vamos chamar de , onde pode ser qualquer número real. Assim, temos:
Passo 5
Podemos escrever as soluções como um vetor:
Isso mostra que todas as soluções são múltiplos do vetor 4 1.