Encontre uma base para o espacio solução do sistema homogêneo dado.
3 x1-12 x2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma base para o espaço solução do sistema homogêneo que tem a equação 3x1 - 12x2 = 0. Isso pertence ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como expressar as soluções desse sistema de forma vetorial e identificar vetores que formem uma base para esse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada: 3x1 - 12x2 = 0. Como é um sistema homogêneo (igual a zero), sabemos que sempre tem pelo menos a solução trivial, onde todas as variáveis são zero. Mas queremos encontrar todas as soluções possíveis.

Passo 3

Vamos resolver essa equação para uma das variáveis em termos da outra. Por exemplo, podemos resolver para x1:
3x1 = 12x2
Dividindo ambos os lados por 3:
x1 = 4x2

Passo 4

Agora, vamos expressar as soluções em termos de um parâmetro livre. Vamos chamar x2 de t, onde t pode ser qualquer número real. Assim, temos:
x1 = 4t
x2 = t

Passo 5

Podemos escrever as soluções como um vetor:
x1 x2 = 4t t = t 4 1
Isso mostra que todas as soluções são múltiplos do vetor 4 1.

Resposta

Uma base para o espaço solução é ,4 1,.

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