Encontre uma base para o espacio solução do sistema homogêneo dado.
Passo 1
Vamos entender o enunciado: precisamos encontrar uma base para o espaço solução do sistema homogêneo dado pelas equações
x - y &= 0 -2x + 2y &= 0
Aqui, estamos lidando com sistemas lineares homogêneos, que envolvem equações onde todas as constantes são zero. Para resolver, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o sistema. Observe que a segunda equação é apenas -2 vezes a primeira:
-2(x - y) = -2x + 2y = 0
Isso significa que ambas as equações representam a mesma relação entre x e y. Portanto, podemos considerar apenas a primeira equação para encontrar as soluções.
Passo 3
A partir da primeira equação:
x - y = 0 implies x = y
Isso nos diz que qualquer valor de x será igual ao valor de y. Podemos expressar essa relação usando um parâmetro, digamos t:
x = t y = t
Passo 4
Agora, podemos escrever a solução geral do sistema como um vetor:
x y = t t = t 1 1
Aqui, t é um parâmetro real que pode assumir qualquer valor.
Passo 5
Para encontrar uma base para o espaço solução, identificamos os vetores que, multiplicados por qualquer escalar, geram todas as soluções possíveis. No caso, o vetor 1 1 satisfaz essa condição.