Por que a dimensão do espaço
é
?
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos dois espaços vetoriais de dimensão finita sobre um mesmo corpo
,
e
. Queremos mostrar que o espaço
de todas as transformações lineares de
em
tem dimensão igual a
O conteúdo que vamos usar envolve a escolha de bases em
e
, a representação matricial de uma transformação linear e a contagem de parâmetros (coeficientes) livres.
Passo 2
Escolhemos uma base de
,
e uma base de
,
Dado
, seus valores em cada vetor de base de
são vetores de
:
onde os
são as coordenadas de
na base de
. Logo,
fica completamente determinado pelos
escalares
.
Passo 3
Isso estabelece um isomorfismo entre
e o espaço de matrizes
. Para ver diretamente uma base de
, definimos para cada par
o operador linear
por
Cada
corresponde à matriz que tem 1 na linha
, coluna
, e zeros nos demais postos.
Passo 4
Mostramos que os
operadores
são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial anula todos) e que qualquer
se escreve de modo único como
Portanto, esses operadores formam uma base de
com exatamente
elementos.