Por que a dimensão do espaço L(V, W) é dim V times dim W ?

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois espaços vetoriais de dimensão finita sobre um mesmo corpo K,
dim V = n e dim W = m. Queremos mostrar que o espaço L(V,W) de todas as transformações lineares de V em W tem dimensão igual a
dimL(V,W)=ntimes m
O conteúdo que vamos usar envolve a escolha de bases em V e W, a representação matricial de uma transformação linear e a contagem de parâmetros (coeficientes) livres.

Passo 2

Escolhemos uma base de V,
v1,v2,dots,vn,
e uma base de W,
w1,w2,dots,wm
Dado TinL(V,W), seus valores em cada vetor de base de V são vetores de W:
T(vj) = sumi=1^m aij,wi, j=1,2,dots,n,
onde os aijinK são as coordenadas de T(vj) na base de W. Logo, T fica completamente determinado pelos mtimes n escalares aij.

Passo 3

Isso estabelece um isomorfismo entre L(V,W) e o espaço de matrizes Mmtimes n(K). Para ver diretamente uma base de L(V,W), definimos para cada par (i,j) o operador linear Eij por
Eij(vj)=wi, Eij(vk)=0(se kneq j)
Cada Eij corresponde à matriz que tem 1 na linha i, coluna j, e zeros nos demais postos.

Passo 4

Mostramos que os m n operadores
Eij : 1<= i<= m,;1<= j<= n
são linearmente independentes (nenhuma combinação não trivial anula todos) e que qualquer TinL(V,W) se escreve de modo único como
T=sumi=1^msumj=1^naij,Eij
Portanto, esses operadores formam uma base de L(V,W) com exatamente mn elementos.

Resposta

dimL(V,W)=dim Vtimesdim W = ntimes m

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