Verifique se os seguintes subconjuntos são linearmente dependentes ou linearmente independentes nos respetivos espaços vetoriais sobre R.
(1,-5,4,2),(1,0,0,1),(0,2,0,-1),(3,-15,12,6) em R^4.

Passo 1

O enunciado nos dá o subconjunto
(1,-5,4,2),(1,0,0,1),(0,2,0,-1),(3,-15,12,6)
em R^4 e pede para verificar se esses vetores são linearmente independentes ou dependentes. Vamos usar a definição de combinação linear e o fato de que, se um vetor é múltiplo escalar de outro, o conjunto é linearmente dependente.

Passo 2

Observe que o quarto vetor
(3,-15,12,6)
é exatamente três vezes o primeiro vetor
(1,-5,4,2), pois
3cdot(1,-5,4,2) = (3,-15,12,6)

Passo 3

Dessa observação segue a relação não trivial
(3,-15,12,6) - 3,(1,-5,4,2) = (0,0,0,0),
ou seja, existe combinação linear com coeficientes não todos nulos que dá o vetor zero. Logo, o conjunto é linearmente dependente.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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