Encontre uma base do espaço vetorial
sobre
. Qual é a dimensão de tal espaço?
Passo 1
O enunciado pede uma base de
(o espaço de todas as matrizes reais
) sobre
e a sua dimensão. Para isso vamos usar o conceito de matrizes canônicas e o critério de base (geradora e linearmente independente).
Passo 2
Definimos para cada
e cada
a matriz
que tem
na posição
e
em todas as outras entradas. Assim obtemos a família
Passo 3
Mostramos que essa família gera
. Seja
qualquer matriz em
. Então
pois em cada posição
a combinação linear coloca exatamente o valor
.
Passo 4
Mostramos que a família é linearmente independente. Suponha
Olhe para a entrada
dessa soma: ela vale
. Como o resultado é a matriz nula, cada
tem de ser zero, o que garante independência linear.
Passo 5
Concluímos que
é uma base de
. Como há
escolhas para
e
escolhas para
, o total de elementos da base é
.
Resposta
A base canônica de
é
onde
tem
na posição
e
nos demais lugares.
A dimensão desse espaço vetorial é .
A dimensão desse espaço vetorial é