Encontre uma base do espaço vetorial Mm times n(R) sobre R. Qual é a dimensão de tal espaço?

Passo 1

O enunciado pede uma base de Mmtimes n(R) (o espaço de todas as matrizes reais mtimes n) sobre R e a sua dimensão. Para isso vamos usar o conceito de matrizes canônicas e o critério de base (geradora e linearmente independente).

Passo 2

Definimos para cada iin1,dots,m e cada jin1,dots,n a matriz Eijin Mmtimes n(R) que tem 1 na posição (i,j) e 0 em todas as outras entradas. Assim obtemos a família
,Eijmid 1<= i<= m,;1<= j<= n

Passo 3

Mostramos que essa família gera Mmtimes n(R). Seja A=(aij) qualquer matriz em Mmtimes n(R). Então
A ;=;sumi=1^msumj=1^n aij,Eij,
pois em cada posição (i,j) a combinação linear coloca exatamente o valor aij.

Passo 4

Mostramos que a família é linearmente independente. Suponha
sumi=1^msumj=1^n cij,Eij ;=;0
Olhe para a entrada (i,j) dessa soma: ela vale cij. Como o resultado é a matriz nula, cada cij tem de ser zero, o que garante independência linear.

Passo 5

Concluímos que Eij é uma base de Mmtimes n(R). Como há m escolhas para i e n escolhas para j, o total de elementos da base é m times n.

Resposta

A base canônica de Mmtimes n(R) é
,Eijmid 1<= i<= m,;1<= j<= n,
onde Eij tem 1 na posição (i,j) e 0 nos demais lugares.
A dimensão desse espaço vetorial é mn.

Exercícios relacionados